负数——加法与乘法法则

负数是小于零的数。做加法时，要先判断符号是否相同。做乘法时，只看符号是相同还是不同。

当一个量低于某个参考点时，就会出现负数，比如低于 $0$ 的温度、你欠的钱，或数轴上位于 $0$ 左边的位置。

负数加法与乘法的法则

如果你只需要核心法则，可以直接看这些：

当两个数相加且符号相同时，把它们到零的距离相加，并保留这个符号。

$$(-3) + (-5) = -8$$

当两个数相加且符号不同时，用较大的到零距离减去较小的到零距离，然后保留离零更远的那个数的符号。

$$(-8) + 3 = -5$$

当两个数相乘且符号相同时，积为正。符号不同时，积为负。

$$(-4)(-2) = 8,\quad (-4)(2) = -8$$

负数表示什么

负数不只是“带减号的数”。符号表示这个数位于零的另一侧，与正数相对；大小则表示它离零有多远。

这就是负数有用的原因。它可以表示低于海平面、欠款、在图像上向左移动，或者低于某个基准线。

如何做负数加法

如果你把加法想成数轴上的移动，就会更容易理解。

加上一个正数，表示向右移动。加上一个负数，表示向左移动。

例如，

$$-2 + (-3)$$

从 $-2$ 开始，向左移动 $3$ 个单位，所以结果是 $-5$。

如果符号不同，两种移动方向就会互相抵消。在

$$-7 + 4$$

中，你从 $-7$ 开始，向右移动 $4$ 个单位。你还没有到达零，所以答案是 $-3$。

一个可靠的法则是：

1. 符号相同：把到零的距离相加，并保留共同的符号。
2. 符号不同：用到零距离较大的数减去较小的数，并保留离零更远的那个数的符号。

例题：$-6 + 9$

求：

$$-6 + 9$$

符号不同，所以不要直接把 $6$ 和 $9$ 相加。先比较它们到零的距离。因为 $9$ 比 $6$ 离零更远，所以最后答案是正数。

现在把距离相减：

$$9 - 6 = 3$$

所以

$$-6 + 9 = 3$$

这就是有符号数加法的关键思想：当符号相反时，离零更远的那个数决定答案的符号。

为什么负数乘负数等于正数

乘法法则和加法法则不同。做乘法时，先把大小相乘，再根据符号是相同还是不同来判断结果的符号。

如果符号不同，积是负数：

$$3 \cdot (-2) = -6$$

如果符号相同，积是正数：

$$(-3)\cdot(-2) = 6$$

对于大多数学校里的题目，这条法则就够用了：

1. 符号相同，积为正。
2. 符号不同，积为负。

负数常见错误

一个常见错误是把乘法的符号法则用到加法里。做加法时，如果符号不同，结果的符号取决于哪个数离零更远；做乘法时则不是这样。

另一个错误是漏掉括号。例如，

$$-3^2 = -(3^2) = -9$$

但是

$$(-3)^2 = 9$$

括号会改变被平方的对象。

第三个错误是在像 $-10 + 6$ 这样的式子里保留了错误的符号。因为 $10$ 比 $6$ 离零更远，所以结果是 $-4$，不是 $4$。

负数用在什么地方

负数会出现在温度、海拔、金融、坐标几何、代数和物理中。一旦你对符号法则感到自然熟悉，正确理解方程就会容易得多，也能避免那些会让整个答案出错的小符号错误。

试做一道类似的题

不用计算器试试这些：$-4 + 11$、$-9 + (-2)$ 和 $(-5)(3)$。先说出你要用的法则，再开始计算。如果你想逐步检查一个更长的式子，可以把你自己的题目输入求解器，观察符号是在什么地方发生变化的。