Negative Zahlen — Regeln zum Addieren und Multiplizieren

Negative Zahlen sind Zahlen kleiner als null. Beim Addieren entscheidest du, ob die Vorzeichen gleich sind. Beim Multiplizieren schaust du nur darauf, ob die Vorzeichen gleich oder verschieden sind.

Sie kommen immer dann vor, wenn ein Wert unter einem Bezugspunkt liegt, zum Beispiel bei einer Temperatur unter $0$, bei Geld, das du schuldest, oder bei einer Position links von $0$ auf einer Zahlengeraden.

Regeln zum Addieren und Multiplizieren negativer Zahlen

Wenn du nur die Grundregeln brauchst, nimm diese:

Wenn du Zahlen mit gleichem Vorzeichen addierst, addiere ihre Abstände von null und behalte dieses Vorzeichen bei.

$$(-3) + (-5) = -8$$

Wenn du Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen addierst, ziehe den kleineren Abstand von null vom größeren ab und behalte dann das Vorzeichen der Zahl mit dem größeren Abstand von null.

$$(-8) + 3 = -5$$

Wenn du zwei Zahlen mit gleichem Vorzeichen multiplizierst, ist das Produkt positiv. Wenn die Vorzeichen verschieden sind, ist das Produkt negativ.

$$(-4)(-2) = 8,\quad (-4)(2) = -8$$

Was negative Zahlen bedeuten

Eine negative Zahl ist nicht einfach nur „eine Zahl mit Minuszeichen“. Das Vorzeichen sagt dir, dass der Wert auf der anderen Seite von null liegt als eine positive Zahl, und die Größe sagt dir, wie weit er von null entfernt ist.

Deshalb sind negative Zahlen nützlich. Sie können bedeuten, dass etwas unter dem Meeresspiegel liegt, dass du Geld schuldest, dass du dich in einem Graphen nach links bewegst oder unter einen Ausgangswert fällst.

Wie man negative Zahlen addiert

Addieren wird leichter, wenn du dir eine Bewegung auf der Zahlengeraden vorstellst.

Eine positive Zahl zu addieren bedeutet, nach rechts zu gehen. Eine negative Zahl zu addieren bedeutet, nach links zu gehen.

Zum Beispiel

$$-2 + (-3)$$

beginnt bei $-2$ und geht $3$ Einheiten nach links, also ist das Ergebnis $-5$.

Wenn die Vorzeichen verschieden sind, wirken die Bewegungen gegeneinander. Bei

$$-7 + 4$$

beginnst du bei $-7$ und gehst $4$ Einheiten nach rechts. Du erreichst null nicht, also ist die Antwort $-3$.

Eine verlässliche Regel ist:

1. Gleiche Vorzeichen: Addiere die Abstände von null und behalte das gemeinsame Vorzeichen.
2. Verschiedene Vorzeichen: Subtrahiere die Abstände von null und behalte das Vorzeichen der Zahl, die weiter von null entfernt ist.

Gerechnetes Beispiel: $-6 + 9$

Berechne:

$$-6 + 9$$

Die Vorzeichen sind verschieden, also addiere $6$ und $9$ nicht direkt. Vergleiche zuerst ihre Abstände von null. Da $9$ weiter von null entfernt ist als $6$, wird das Endergebnis positiv.

Ziehe jetzt die Abstände voneinander ab:

$$9 - 6 = 3$$

Also gilt:

$$-6 + 9 = 3$$

Das ist die zentrale Idee beim Addieren von Zahlen mit Vorzeichen: Bei entgegengesetzten Vorzeichen entscheidet der größere Abstand von null über das Vorzeichen des Ergebnisses.

Warum negativ mal negativ positiv ist

Die Regel für die Multiplikation ist anders als die für die Addition. Beim Multiplizieren berechnest du zuerst die Größen und entscheidest dann anhand der Vorzeichen, ob das Ergebnis positiv oder negativ ist.

Wenn die Vorzeichen verschieden sind, ist das Produkt negativ:

$$3 \cdot (-2) = -6$$

Wenn die Vorzeichen gleich sind, ist das Produkt positiv:

$$(-3)\cdot(-2) = 6$$

Für die meisten Schulaufgaben reicht diese Regel:

1. Gleiche Vorzeichen ergeben ein positives Produkt.
2. Verschiedene Vorzeichen ergeben ein negatives Produkt.

Häufige Fehler bei negativen Zahlen

Ein häufiger Fehler ist, die Vorzeichenregel der Multiplikation auf die Addition anzuwenden. Beim Addieren hängt das Vorzeichen davon ab, welche Zahl bei unterschiedlichen Vorzeichen weiter von null entfernt ist. Beim Multiplizieren ist das nicht so.

Ein weiterer Fehler ist, Klammern wegzulassen. Zum Beispiel gilt:

$$-3^2 = -(3^2) = -9$$

aber

$$(-3)^2 = 9$$

Die Klammern ändern, was quadriert wird.

Ein dritter Fehler ist, in Ausdrücken wie $-10 + 6$ das falsche Vorzeichen zu behalten. Da $10$ weiter von null entfernt ist als $6$, ist das Ergebnis $-4$ und nicht $4$.

Wann negative Zahlen verwendet werden

Negative Zahlen kommen bei Temperatur, Höhe, Finanzen, Koordinatengeometrie, Algebra und Physik vor. Sobald sich die Vorzeichenregeln natürlich anfühlen, wird es viel leichter, Gleichungen richtig zu lesen und kleine Vorzeichenfehler zu vermeiden, die die ganze Antwort verändern.

Probiere eine ähnliche Aufgabe

Versuche diese ohne Taschenrechner: $-4 + 11$, $-9 + (-2)$ und $(-5)(3)$. Sage die Regel, bevor du rechnest. Wenn du einen längeren Ausdruck Schritt für Schritt überprüfen willst, probiere deine eigene Version in einem Solver aus und achte darauf, wo sich das Vorzeichen ändert.