음수 — 덧셈과 곱셈 규칙

음수는 $0$보다 작은 수입니다. 더할 때는 부호가 같은지 다른지 먼저 판단합니다. 곱할 때는 부호가 같은지 다른지만 보면 됩니다.

음수는 기준점보다 값이 낮을 때 나타납니다. 예를 들어 $0$보다 낮은 기온, 빚진 돈, 또는 수직선에서 $0$의 왼쪽 위치를 나타낼 때 쓰입니다.

음수의 덧셈과 곱셈 규칙

핵심 규칙만 필요하다면 다음을 기억하세요.

부호가 같은 두 수를 더할 때는 각각의 $0$으로부터의 거리를 더하고, 그 부호를 그대로 유지합니다.

$$(-3) + (-5) = -8$$

부호가 다른 두 수를 더할 때는 $0$으로부터의 거리가 더 큰 수에서 더 작은 수를 빼고, $0$에서 더 먼 수의 부호를 붙입니다.

$$(-8) + 3 = -5$$

부호가 같은 두 수를 곱하면 곱은 양수입니다. 부호가 다르면 곱은 음수입니다.

$$(-4)(-2) = 8,\quad (-4)(2) = -8$$

음수가 뜻하는 것

음수는 단순히 "마이너스 기호가 붙은 수"가 아닙니다. 부호는 그 값이 양수와 반대쪽, 즉 $0$의 반대편에 있다는 뜻이고, 크기는 $0$에서 얼마나 떨어져 있는지를 나타냅니다.

그래서 음수는 매우 유용합니다. 해수면 아래, 빚, 그래프에서 왼쪽으로의 이동, 또는 기준선 아래로 내려간 상태를 나타낼 수 있습니다.

음수 더하는 방법

덧셈은 수직선에서의 이동으로 생각하면 더 쉬워집니다.

양수를 더하면 오른쪽으로 이동합니다. 음수를 더하면 왼쪽으로 이동합니다.

예를 들어,

$$-2 + (-3)$$

는 $-2$에서 시작해 왼쪽으로 $3$칸 이동하므로 결과는 $-5$입니다.

부호가 다르면 두 이동이 서로 경쟁합니다. 다음 식에서

$$-7 + 4$$

$-7$에서 시작해 오른쪽으로 $4$칸 이동합니다. $0$에 도달하지 못하므로 답은 $-3$입니다.

확실하게 쓸 수 있는 규칙은 다음과 같습니다.

1. 부호가 같으면: $0$으로부터의 거리를 더하고 공통 부호를 유지합니다.
2. 부호가 다르면: $0$으로부터의 거리를 빼고, $0$에서 더 먼 수의 부호를 유지합니다.

풀이 예시: $-6 + 9$

다음을 구해 봅시다.

$$-6 + 9$$

부호가 다르므로 $6$과 $9$를 바로 더하면 안 됩니다. 먼저 각각이 $0$에서 얼마나 떨어져 있는지 비교합니다. $9$가 $6$보다 $0$에서 더 멀기 때문에 최종 답은 양수입니다.

이제 거리를 뺍니다.

$$9 - 6 = 3$$

따라서

$$-6 + 9 = 3$$

이것이 부호 있는 수의 덧셈에서 핵심 아이디어입니다. 부호가 반대이면, $0$에서 더 먼 수가 답의 부호를 결정합니다.

음수 곱하기 음수가 양수가 되는 이유

곱셈 규칙은 덧셈 규칙과 다릅니다. 곱셈에서는 먼저 크기를 곱한 뒤, 부호가 같은지 다른지에 따라 부호를 결정합니다.

부호가 다르면 곱은 음수입니다.

$$3 \cdot (-2) = -6$$

부호가 같으면 곱은 양수입니다.

$$(-3)\cdot(-2) = 6$$

대부분의 학교 문제에서는 다음 규칙이면 충분합니다.

1. 부호가 같으면 곱은 양수입니다.
2. 부호가 다르면 곱은 음수입니다.

음수에서 자주 하는 실수

흔한 실수 중 하나는 곱셈의 부호 규칙을 덧셈에 그대로 적용하는 것입니다. 덧셈에서는 부호가 다를 때 어느 수가 $0$에서 더 먼지에 따라 답의 부호가 정해집니다. 곱셈은 그렇지 않습니다.

또 다른 실수는 괄호를 빼먹는 것입니다. 예를 들어,

$$-3^2 = -(3^2) = -9$$

이지만

$$(-3)^2 = 9$$

입니다. 괄호가 무엇을 제곱하는지 바꿉니다.

세 번째 실수는 $-10 + 6$ 같은 식에서 부호를 잘못 붙이는 것입니다. $10$이 $6$보다 $0$에서 더 멀기 때문에 결과는 $4$가 아니라 $-4$입니다.

음수가 사용되는 경우

음수는 기온, 높이, 금융, 좌표기하, 대수, 물리에서 자주 등장합니다. 부호 규칙이 자연스럽게 느껴지기 시작하면 식을 훨씬 정확하게 읽을 수 있고, 답 전체를 바꿔 버리는 작은 부호 실수도 줄일 수 있습니다.

비슷한 문제를 풀어 보세요

계산기 없이 다음을 풀어 보세요: $-4 + 11$, $-9 + (-2)$, 그리고 $(-5)(3)$. 계산하기 전에 먼저 어떤 규칙을 쓸지 말해 보세요. 더 긴 식을 단계별로 확인하고 싶다면, 풀이기에 비슷한 식을 직접 넣고 어디서 부호가 바뀌는지 살펴보세요.