Numeri negativi — regole per addizione e moltiplicazione

I numeri negativi sono numeri minori di zero. Per sommarli, devi capire se i segni sono uguali o diversi. Per moltiplicarli, devi guardare solo se i segni coincidono oppure no.

Compaiono ogni volta che un valore è sotto un punto di riferimento, come una temperatura sotto $0$, un debito, oppure una posizione a sinistra di $0$ sulla retta numerica.

Regole per sommare e moltiplicare i numeri negativi

Se ti servono solo le regole fondamentali, usa queste:

Quando sommi numeri con lo stesso segno, somma le loro distanze da zero e mantieni quel segno.

$$(-3) + (-5) = -8$$

Quando sommi numeri con segni diversi, sottrai la distanza minore da zero da quella maggiore, poi mantieni il segno del numero che ha la distanza maggiore da zero.

$$(-8) + 3 = -5$$

Quando moltiplichi due numeri con lo stesso segno, il prodotto è positivo. Quando i segni sono diversi, il prodotto è negativo.

$$(-4)(-2) = 8,\quad (-4)(2) = -8$$

Cosa significano i numeri negativi

Un numero negativo non è solo "un numero con il segno meno". Il segno indica che il valore si trova dalla parte opposta dello zero rispetto a un numero positivo, e la grandezza indica quanto è lontano da zero.

Per questo i numeri negativi sono utili. Possono rappresentare una quota sotto il livello del mare, un debito, uno spostamento verso sinistra su un grafico oppure una discesa sotto un valore di riferimento.

Come sommare i numeri negativi

L'addizione diventa più semplice se immagini un movimento sulla retta numerica.

Aggiungere un numero positivo significa spostarsi a destra. Aggiungere un numero negativo significa spostarsi a sinistra.

Per esempio,

$$-2 + (-3)$$

parte da $-2$ e si sposta di $3$ unità a sinistra, quindi il risultato è $-5$.

Se i segni sono diversi, gli spostamenti si contrastano. In

$$-7 + 4$$

parti da $-7$ e ti sposti di $4$ unità a destra. Non arrivi a zero, quindi la risposta è $-3$.

Una regola affidabile è:

1. Stesso segno: somma le distanze da zero e mantieni il segno comune.
2. Segni diversi: sottrai le distanze da zero e mantieni il segno del numero più lontano da zero.

Esempio svolto: $-6 + 9$

Calcola:

$$-6 + 9$$

I segni sono diversi, quindi non devi sommare direttamente $6$ e $9$. Per prima cosa confronta le loro distanze da zero. Poiché $9$ è più lontano da zero di $6$, la risposta finale sarà positiva.

Ora sottrai le distanze:

$$9 - 6 = 3$$

Quindi

$$-6 + 9 = 3$$

Questa è l'idea chiave per sommare numeri con segno: con segni opposti, è la distanza maggiore da zero a determinare il segno della risposta.

Perché un numero negativo per un numero negativo dà un positivo

La regola della moltiplicazione è diversa da quella dell'addizione. Nella moltiplicazione, prima moltiplichi i valori assoluti e poi determini il segno in base al fatto che i segni siano uguali oppure diversi.

Se i segni sono diversi, il prodotto è negativo:

$$3 \cdot (-2) = -6$$

Se i segni sono uguali, il prodotto è positivo:

$$(-3)\cdot(-2) = 6$$

Per la maggior parte degli esercizi scolastici, questa regola basta:

1. Segni uguali danno un prodotto positivo.
2. Segni diversi danno un prodotto negativo.

Errori comuni con i numeri negativi

Un errore comune è usare la regola dei segni della moltiplicazione anche per l'addizione. Nell'addizione, il segno dipende da quale numero è più lontano da zero quando i segni sono diversi. Nella moltiplicazione, invece, no.

Un altro errore è togliere le parentesi. Per esempio,

$$-3^2 = -(3^2) = -9$$

ma

$$(-3)^2 = 9$$

Le parentesi cambiano quale numero viene elevato al quadrato.

Un terzo errore è mantenere il segno sbagliato in espressioni come $-10 + 6$. Poiché $10$ è più lontano da zero di $6$, il risultato è $-4$, non $4$.

Quando si usano i numeri negativi

I numeri negativi compaiono nella temperatura, nell'altitudine, nella finanza, nella geometria cartesiana, nell'algebra e nella fisica. Quando le regole dei segni diventano naturali, diventa molto più facile leggere correttamente le equazioni ed evitare piccoli errori di segno che cambiano tutta la risposta.

Prova un esercizio simile

Prova questi senza calcolatrice: $-4 + 11$, $-9 + (-2)$ e $(-5)(3)$. Di' la regola prima di calcolare. Se vuoi controllare passo dopo passo un'espressione più lunga, prova una tua versione in un risolutore e osserva dove cambia il segno.