数制——二进制、八进制、十六进制

二进制、八进制和十六进制都是按位计值的数制。它们的区别在于基数不同。二进制是基数 $2$，八进制是基数 $8$，十六进制是基数 $16$。一旦理解了这一点，这些符号看起来就不再神秘了。

在任何位置计数制中，每一位都是基数的幂。十进制中的位值是 $1$、$10$、$100$，依此类推。二进制中的位值是 $1$、$2$、$4$、$8$、$16$，依此类推。这个规则对所有进制都成立。

各种数制使用哪些符号

二进制只使用数字 $0$ 和 $1$。

八进制使用数字 $0$ 到 $7$。

十六进制使用 $16$ 个符号：$0$ 到 $9$，再加上 $A$ 到 $F$，分别表示数值 $10$ 到 $15$。

这意味着，一个十六进制位能承载的信息比一个二进制位更多，因为十六进制的每一位按 $16$ 的幂计数，而不是按 $2$ 的幂计数。

核心直觉

一个数不会因为你用不同进制来写，就改变它本身的数值。改变的只是表示方式。

例如，十进制数 $45$，无论写成二进制、八进制还是十六进制，表示的都是同一个量。不同进制就像是在用不同语言表达同一个数。

一个很有代表性的例子：把 $45$ 写成二进制、八进制和十六进制

先从十进制开始。

$$45 = 32 + 8 + 4 + 1$$

这些都是 $2$ 的幂：

$$32 = 2^5,\quad 8 = 2^3,\quad 4 = 2^2,\quad 1 = 2^0$$

所以，二进制形式在 $2^5$、$2^3$、$2^2$ 和 $2^0$ 这些位上是 $1$：

$$45_{10} = 101101_2$$

现在利用二进制形式来得到八进制。因为 $8 = 2^3$，所以从右往左把二进制按每 $3$ 位一组：

$$101101_2 = 101\ 101_2$$

每一组对应一个八进制数字：

$$101_2 = 5,\quad 101_2 = 5$$

所以

$$45_{10} = 55_8$$

接着求十六进制。因为 $16 = 2^4$，所以从右往左把二进制按每 $4$ 位一组。不够时在左边补零：

$$101101_2 = 0010\ 1101_2$$

然后把每一组分别转换：

$$0010_2 = 2,\quad 1101_2 = 13 = D$$

所以

$$45_{10} = 2D_{16}$$

这三种形式表示的都是同一个数：

$$45_{10} = 101101_2 = 55_8 = 2D_{16}$$

常见错误

一个常见错误是忘记了进制会改变位值。字符串 $101$ 在二进制、八进制和十进制中，含义并不相同。

另一个错误是使用了该进制不允许出现的数字。例如，二进制数中不能出现 $2$，八进制数中不能出现 $8$。

学生在把二进制转换成八进制或十六进制时，也常常分组错误。要从右边开始分组，如果一组不完整，就在左边补零。

这些数制在什么时候使用

二进制是数字系统的基础语言，因为开关天然只有两种状态。八进制和十六进制则是书写长二进制串的更紧凑方式。

你不需要学过计算机科学，也能理解这里的数学思想。这些数制依然很有价值，因为它们训练的是所有位置计数法背后的核心规则：数值取决于基数和所在的位置。

试着做一个类似的转换

试着把 $58_{10}$ 转换成二进制、八进制和十六进制。先把它写成 $2$ 的幂之和，再对二进制数字分组，得到另外两种形式。