Αρνητικοί Αριθμοί — Κανόνες για Πρόσθεση και Πολλαπλασιασμό

Οι αρνητικοί αριθμοί είναι αριθμοί μικρότεροι από το μηδέν. Για να τους προσθέσεις, έλεγξε αν τα πρόσημα είναι ίδια. Για να τους πολλαπλασιάσεις, κοίτα μόνο αν τα πρόσημα είναι ίδια ή διαφορετικά.

Εμφανίζονται κάθε φορά που μια τιμή είναι κάτω από ένα σημείο αναφοράς, όπως μια θερμοκρασία κάτω από το $0$, χρήματα που χρωστάς ή μια θέση αριστερά από το $0$ σε μια αριθμητική ευθεία.

Κανόνες για Πρόσθεση και Πολλαπλασιασμό Αρνητικών Αριθμών

Αν χρειάζεσαι μόνο τους βασικούς κανόνες, χρησιμοποίησε αυτούς:

Όταν προσθέτεις αριθμούς με το ίδιο πρόσημο, προσθέτεις τις αποστάσεις τους από το μηδέν και κρατάς αυτό το πρόσημο.

$$(-3) + (-5) = -8$$

Όταν προσθέτεις αριθμούς με διαφορετικά πρόσημα, αφαιρείς τη μικρότερη απόσταση από το μηδέν από τη μεγαλύτερη και μετά κρατάς το πρόσημο του αριθμού με τη μεγαλύτερη απόσταση από το μηδέν.

$$(-8) + 3 = -5$$

Όταν πολλαπλασιάζεις δύο αριθμούς με το ίδιο πρόσημο, το γινόμενο είναι θετικό. Όταν τα πρόσημα είναι διαφορετικά, το γινόμενο είναι αρνητικό.

$$(-4)(-2) = 8,\quad (-4)(2) = -8$$

Τι Σημαίνουν οι Αρνητικοί Αριθμοί

Ένας αρνητικός αριθμός δεν είναι απλώς «ένας αριθμός με σύμβολο μείον». Το πρόσημο δείχνει ότι η τιμή βρίσκεται στην αντίθετη πλευρά του μηδενός από έναν θετικό αριθμό, και το μέγεθος δείχνει πόσο μακριά από το μηδέν βρίσκεται.

Γι’ αυτό οι αρνητικοί αριθμοί είναι χρήσιμοι. Μπορούν να παριστάνουν ύψος κάτω από την επιφάνεια της θάλασσας, χρέη, κίνηση προς τα αριστερά σε ένα γράφημα ή πτώση κάτω από μια βασική τιμή αναφοράς.

Πώς να Προσθέτεις Αρνητικούς Αριθμούς

Η πρόσθεση γίνεται πιο εύκολη αν φανταστείς κίνηση πάνω σε μια αριθμητική ευθεία.

Η πρόσθεση ενός θετικού αριθμού σημαίνει μετακίνηση προς τα δεξιά. Η πρόσθεση ενός αρνητικού αριθμού σημαίνει μετακίνηση προς τα αριστερά.

Για παράδειγμα,

$$-2 + (-3)$$

ξεκινά από το $-2$ και μετακινείται $3$ μονάδες αριστερά, οπότε το αποτέλεσμα είναι $-5$.

Αν τα πρόσημα είναι διαφορετικά, οι κινήσεις είναι αντίθετες. Στο

$$-7 + 4$$

ξεκινάς από το $-7$ και μετακινείσαι $4$ μονάδες δεξιά. Δεν φτάνεις στο μηδέν, άρα η απάντηση είναι $-3$.

Ένας αξιόπιστος κανόνας είναι:

1. Ίδια πρόσημα: προσθέτεις τις αποστάσεις από το μηδέν και κρατάς το κοινό πρόσημο.
2. Διαφορετικά πρόσημα: αφαιρείς τις αποστάσεις από το μηδέν και κρατάς το πρόσημο του αριθμού που είναι πιο μακριά από το μηδέν.

Λυμένο Παράδειγμα: $-6 + 9$

Να βρεθεί:

$$-6 + 9$$

Τα πρόσημα είναι διαφορετικά, οπότε δεν προσθέτεις κατευθείαν το $6$ και το $9$. Πρώτα σύγκρινε τις αποστάσεις τους από το μηδέν. Εφόσον το $9$ είναι πιο μακριά από το μηδέν από το $6$, η τελική απάντηση θα είναι θετική.

Τώρα αφαίρεσε τις αποστάσεις:

$$9 - 6 = 3$$

Άρα

$$-6 + 9 = 3$$

Αυτή είναι η βασική ιδέα στην πρόσθεση προσημασμένων αριθμών: όταν τα πρόσημα είναι αντίθετα, το μεγαλύτερο σε απόσταση από το μηδέν καθορίζει το πρόσημο της απάντησης.

Γιατί Αρνητικός Επί Αρνητικός Κάνει Θετικό

Ο κανόνας του πολλαπλασιασμού είναι διαφορετικός από τον κανόνα της πρόσθεσης. Στον πολλαπλασιασμό, πρώτα πολλαπλασιάζεις τα μέτρα και μετά αποφασίζεις το πρόσημο ανάλογα με το αν τα πρόσημα είναι ίδια.

Αν τα πρόσημα είναι διαφορετικά, το γινόμενο είναι αρνητικό:

$$3 \cdot (-2) = -6$$

Αν τα πρόσημα είναι ίδια, το γινόμενο είναι θετικό:

$$(-3)\cdot(-2) = 6$$

Για τα περισσότερα σχολικά προβλήματα, αυτός ο κανόνας αρκεί:

1. Ίδια πρόσημα δίνουν θετικό γινόμενο.
2. Διαφορετικά πρόσημα δίνουν αρνητικό γινόμενο.

Συνηθισμένα Λάθη με Αρνητικούς Αριθμούς

Ένα συνηθισμένο λάθος είναι να χρησιμοποιείται ο κανόνας των προσήμων του πολλαπλασιασμού στην πρόσθεση. Στην πρόσθεση, το πρόσημο εξαρτάται από το ποιος αριθμός είναι πιο μακριά από το μηδέν όταν τα πρόσημα είναι διαφορετικά. Στον πολλαπλασιασμό, δεν ισχύει αυτό.

Ένα άλλο λάθος είναι να παραλείπονται οι παρενθέσεις. Για παράδειγμα,

$$-3^2 = -(3^2) = -9$$

αλλά

$$(-3)^2 = 9$$

Οι παρενθέσεις αλλάζουν ποιος αριθμός υψώνεται στο τετράγωνο.

Ένα τρίτο λάθος είναι να κρατιέται το λάθος πρόσημο σε παραστάσεις όπως $-10 + 6$. Εφόσον το $10$ είναι πιο μακριά από το μηδέν από το $6$, το αποτέλεσμα είναι $-4$ και όχι $4$.

Πού Χρησιμοποιούνται οι Αρνητικοί Αριθμοί

Οι αρνητικοί αριθμοί εμφανίζονται στη θερμοκρασία, στο υψόμετρο, στα οικονομικά, στην αναλυτική γεωμετρία, στην άλγεβρα και στη φυσική. Μόλις οι κανόνες των προσήμων γίνουν φυσικοί, γίνεται πολύ πιο εύκολο να διαβάζεις σωστά τις εξισώσεις και να αποφεύγεις μικρά λάθη στα πρόσημα που αλλάζουν ολόκληρη την απάντηση.

Δοκίμασε ένα Παρόμοιο Πρόβλημα

Δοκίμασε τα παρακάτω χωρίς αριθμομηχανή: $-4 + 11$, $-9 + (-2)$ και $(-5)(3)$. Πες τον κανόνα πριν υπολογίσεις. Αν θέλεις να ελέγξεις βήμα βήμα μια μεγαλύτερη παράσταση, δοκίμασε τη δική σου εκδοχή σε έναν επιλυτή και παρατήρησε πού αλλάζει το πρόσημο.