数的类型——自然数、全体数、整数、有理数、无理数

数的类型用来说明你看到的数属于哪一类：自然数、全体数、整数、有理数或无理数。核心思想很简单：有些数集包含在更大的数集中，所以同一个数可能同时属于多个类别。

有一个细节一开始就很重要：有些教材把 $0$ 算作自然数，有些则不算。全体数通常指 $0, 1, 2, 3, \dots$，所以 $0$ 往往是最依赖具体约定的那个数。

这些数集之间的关系

实数范围内常见的关系是：

$$\text{natural} \subseteq \text{whole} \subseteq \text{integers} \subseteq \text{rational} \subseteq \text{real}$$

无理数也属于实数，但它们不是有理数。所以实数可以分成两类：有理数和无理数。

这就是为什么一个数可能有多个标签。比如，$4$ 既是自然数、全体数、整数，也是有理数，因为 $4 = 4/1$。

自然数、全体数、整数、有理数和无理数

自然数

自然数就是用来计数的数。在很多课程里，这表示

$$1, 2, 3, 4, \dots$$

有些课程也把 $0$ 包含进去。如果你的课堂或教材没有明确说明，在判断 $0$ 是否是自然数之前，先确认定义。

全体数

全体数通常是

$$0, 1, 2, 3, 4, \dots$$

全体数包括零，但不包括负数和分数。

整数

整数包括负的全体数、零和正的全体数：

$$\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots$$

整数没有小数或分数部分，所以 $-7$ 和 $0$ 是整数，但 $3/2$ 不是。

有理数

有理数是任何可以写成

$$\frac{a}{b}$$

的数，其中 $a$ 和 $b$ 都是整数，且 $b \ne 0$。

这包括像 $\frac{3}{4}$ 这样的分数，也包括像 $-2$ 这样的整数，因为 $-2 = -2/1$；还包括有限小数和循环小数，例如 $0.5$ 和 $0.333\dots$。

无理数

无理数不能写成两个整数之比。

对于实数来说，这意味着它的小数表示既不会终止，也不会按固定模式循环。常见例子有 $\sqrt{2}$ 和 $\pi$。

例题：怎样给一个数分类

用几个有代表性的例子，可以很快看出规律：

数	分类	原因
$0$	全体数、整数、有理数	$0 = 0/1$，所以它是有理数。它也是全体数和整数。只有在你的课程把 $0$ 算作自然数时，它才是自然数。
$-3$	整数、有理数	它没有分数部分，所以是整数。另外，$-3 = -3/1$，所以它是有理数。
$\frac\{7\}\{4\}$	有理数	它已经写成两个整数之比，且分母不为零，所以它是有理数，但不是整数。
$\sqrt\{2\}$	无理数	它不能写成两个整数的分数，所以它是无理数。

这说明了一个关键点：分类看的是这个数是否符合定义，而不是它看起来有多复杂。

小数的快速判断法

如果一个小数是有限小数，那么它是有理数。例如，

$$0.125 = \frac{1}{8}$$

如果一个小数是循环小数，它也是有理数。例如，

$$0.777\dots = \frac{7}{9}$$

如果一个实数的小数既不终止也不循环，那么它是无理数。

这个判断方法只有在你知道小数规律时才有效。一个小数只是看起来很长，并不自动说明它是无理数。

关于数的类型的常见错误

认为 $0$ 一定是自然数

不同教材采用的约定不同。如果题目问 $0$ 是否是自然数，要先看使用的是哪种定义。

忘记整数也是有理数

学生有时会把整数和有理数分得太开。其实每个整数都是有理数，因为它总可以写成分母为 $1$ 的分数。

认为所有平方根都是无理数

有些平方根是无理数，但不是全部。比如，$\sqrt{2}$ 是无理数，而 $\sqrt{9} = 3$ 是有理数。

认为很长的小数一定是无理数

长度不是判断标准。真正要问的是：这个小数是否终止，或者是否循环。

什么时候会用到自然数、全体数、整数、有理数和无理数

这些分类会出现在解方程、描述解集、选择允许的输入值以及读数轴时。如果题目要求整数解，那么 $\frac{5}{2}$ 虽然是有理数，也会立刻被排除。

它们也很重要，因为运算结果不一定还留在原来的数集中。比如，自然数在加法下仍然是自然数，但在减法下就不一定了。

试着分类几个类似的数

试着给 $5$、$-1$、$0.25$ 和 $\sqrt{9}$ 分类。每次都问同样的问题：它是不是计数用的数，是否包含零，是否有分数部分，能不能写成 $a/b$，还是不满足这个条件？