負の数 — 足し算とかけ算のルール

負の数とは、$0$ より小さい数のことです。足し算では符号が同じかどうかを見ます。かけ算では、符号が同じか異なるかだけを見ます。

負の数は、基準点より下にある値を表すときに現れます。たとえば、$0$ 未満の気温、借金、数直線で $0$ の左側の位置などです。

負の数の足し算とかけ算のルール

基本ルールだけ知りたいなら、次を使ってください。

符号が同じ数どうしを足すときは、$0$ からの距離を足して、その符号をそのまま残します。

$$(-3) + (-5) = -8$$

符号が異なる数どうしを足すときは、$0$ からの距離の小さいほうを大きいほうから引き、$0$ からより遠い数の符号を残します。

$$(-8) + 3 = -5$$

2つの数をかけるとき、符号が同じなら積は正になります。符号が異なれば積は負になります。

$$(-4)(-2) = 8,\quad (-4)(2) = -8$$

負の数の意味

負の数は、単に「マイナス記号が付いた数」ではありません。符号は、その値が正の数とは $0$ をはさんで反対側にあることを示し、大きさは $0$ からどれだけ離れているかを示します。

だからこそ、負の数は役に立ちます。海面より下の高さ、借金、グラフで左へ動くこと、基準値より下がることなどを表せます。

負の数の足し算のしかた

足し算は、数直線上の移動をイメージするとわかりやすくなります。

正の数を足すとは右へ進むことです。負の数を足すとは左へ進むことです。

たとえば、

$$-2 + (-3)$$

は $-2$ から始めて左へ $3$ 進むので、答えは $-5$ です。

符号が異なるときは、移動が打ち消し合います。

$$-7 + 4$$

では、$-7$ から始めて右へ $4$ 進みます。$0$ までは届かないので、答えは $-3$ です。

確実に使えるルールは次のとおりです。

1. 符号が同じ: $0$ からの距離を足して、共通の符号を残す。
2. 符号が異なる: $0$ からの距離を引き算し、$0$ からより遠い数の符号を残す。

例題: $-6 + 9$

次を求めます。

$$-6 + 9$$

符号が異なるので、$6$ と $9$ をそのまま足してはいけません。まず、$0$ からの距離を比べます。$9$ は $6$ より $0$ から遠いので、最終的な答えは正になります。

次に、距離を引きます。

$$9 - 6 = 3$$

したがって、

$$-6 + 9 = 3$$

これが符号付きの数の足し算の重要な考え方です。符号が反対なら、$0$ からより遠いほうが答えの符号を決めます。

なぜ負の数×負の数は正になるのか

かけ算のルールは、足し算のルールとは異なります。かけ算では、まず大きさどうしをかけてから、符号が同じかどうかで符号を決めます。

符号が異なれば、積は負です。

$$3 \cdot (-2) = -6$$

符号が同じなら、積は正です。

$$(-3)\cdot(-2) = 6$$

学校の問題の多くでは、次のルールで十分です。

1. 符号が同じなら積は正。
2. 符号が異なれば積は負。

負の数でよくあるミス

よくあるミスの1つは、かけ算の符号ルールを足し算にも使ってしまうことです。足し算では、符号が異なるとき、どちらが $0$ から遠いかで符号が決まります。かけ算ではそうではありません。

もう1つのミスは、かっこを落としてしまうことです。たとえば、

$$-3^2 = -(3^2) = -9$$

ですが、

$$(-3)^2 = 9$$

です。かっこがあるかどうかで、何を2乗しているかが変わります。

3つ目のミスは、$-10 + 6$ のような式で符号を間違えることです。$10$ は $6$ より $0$ から遠いので、結果は $4$ ではなく $-4$ です。

負の数が使われる場面

負の数は、気温、高さ、金融、座標幾何、代数、物理で現れます。符号のルールが自然に感じられるようになると、式を正しく読めるようになり、答え全体を変えてしまうような小さな符号ミスも避けやすくなります。

似た問題に挑戦してみよう

電卓を使わずに、次を解いてみましょう: $-4 + 11$、$-9 + (-2)$、$(-5)(3)$。計算する前に、まず使うルールを声に出してみてください。少し長い式を順を追って確かめたいなら、自分で似た式をソルバーに入れて、どこで符号が変わるかを見てみましょう。