Nombres négatifs — règles d’addition et de multiplication

Les nombres négatifs sont des nombres inférieurs à zéro. Pour les additionner, il faut voir si les signes sont identiques. Pour les multiplier, il suffit de regarder si les signes sont identiques ou différents.

On les rencontre chaque fois qu’une valeur est en dessous d’un point de référence, par exemple une température inférieure à $0$, une somme d’argent que vous devez, ou une position à gauche de $0$ sur une droite graduée.

Règles pour additionner et multiplier des nombres négatifs

Si vous avez seulement besoin des règles essentielles, utilisez celles-ci :

Quand on additionne des nombres de même signe, on additionne leurs distances à zéro et on garde ce signe.

$$(-3) + (-5) = -8$$

Quand on additionne des nombres de signes différents, on soustrait la plus petite distance à zéro de la plus grande, puis on garde le signe du nombre qui est le plus éloigné de zéro.

$$(-8) + 3 = -5$$

Quand on multiplie deux nombres de même signe, le produit est positif. Quand les signes sont différents, le produit est négatif.

$$(-4)(-2) = 8,\quad (-4)(2) = -8$$

Ce que signifient les nombres négatifs

Un nombre négatif n’est pas seulement « un nombre avec un signe moins ». Le signe indique que la valeur se trouve de l’autre côté de zéro par rapport à un nombre positif, et sa taille indique à quelle distance de zéro elle se trouve.

C’est pour cela que les nombres négatifs sont utiles. Ils peuvent représenter une position sous le niveau de la mer, une dette, un déplacement vers la gauche sur un graphique, ou une baisse sous une valeur de référence.

Comment additionner des nombres négatifs

L’addition devient plus simple si vous imaginez un déplacement sur une droite graduée.

Ajouter un nombre positif signifie se déplacer vers la droite. Ajouter un nombre négatif signifie se déplacer vers la gauche.

Par exemple,

$$-2 + (-3)$$

on part de $-2$ et on se déplace de $3$ unités vers la gauche, donc le résultat est $-5$.

Si les signes sont différents, les déplacements s’opposent. Dans

$$-7 + 4$$

on part de $-7$ et on se déplace de $4$ unités vers la droite. On n’atteint pas zéro, donc la réponse est $-3$.

Une règle fiable est :

1. Même signe : additionnez les distances à zéro et gardez le signe commun.
2. Signes différents : soustrayez les distances à zéro et gardez le signe du nombre le plus éloigné de zéro.

Exemple détaillé : $-6 + 9$

Calculez :

$$-6 + 9$$

Les signes sont différents, donc il ne faut pas additionner directement $6$ et $9$. Commencez par comparer leurs distances à zéro. Comme $9$ est plus éloigné de zéro que $6$, la réponse finale sera positive.

Soustrayez maintenant les distances :

$$9 - 6 = 3$$

Donc

$$-6 + 9 = 3$$

C’est l’idée essentielle pour additionner des nombres relatifs : quand les signes sont opposés, c’est la plus grande distance à zéro qui détermine le signe de la réponse.

Pourquoi un négatif multiplié par un négatif donne un positif

La règle de multiplication est différente de celle de l’addition. Pour multiplier, on multiplie d’abord les valeurs absolues, puis on détermine le signe selon que les signes sont identiques ou non.

Si les signes sont différents, le produit est négatif :

$$3 \cdot (-2) = -6$$

Si les signes sont identiques, le produit est positif :

$$(-3)\cdot(-2) = 6$$

Pour la plupart des exercices scolaires, cette règle suffit :

1. Des signes identiques donnent un produit positif.
2. Des signes différents donnent un produit négatif.

Erreurs fréquentes avec les nombres négatifs

Une erreur fréquente consiste à utiliser la règle des signes de la multiplication pour l’addition. En addition, le signe dépend du nombre qui est le plus éloigné de zéro lorsque les signes sont différents. En multiplication, ce n’est pas le cas.

Une autre erreur consiste à oublier les parenthèses. Par exemple,

$$-3^2 = -(3^2) = -9$$

mais

$$(-3)^2 = 9$$

Les parenthèses changent ce qui est mis au carré.

Une troisième erreur consiste à garder le mauvais signe dans des expressions comme $-10 + 6$. Comme $10$ est plus éloigné de zéro que $6$, le résultat est $-4$, et non $4$.

Quand utilise-t-on les nombres négatifs ?

Les nombres négatifs apparaissent en température, en altitude, en finance, en géométrie analytique, en algèbre et en physique. Une fois que les règles de signe deviennent naturelles, il est beaucoup plus facile de lire correctement les équations et d’éviter de petites erreurs de signe qui changent toute la réponse.

Essayez un exercice similaire

Essayez ceux-ci sans calculatrice : $-4 + 11$, $-9 + (-2)$, et $(-5)(3)$. Énoncez la règle avant de calculer. Si vous voulez vérifier une expression plus longue étape par étape, essayez votre propre version dans un solveur et observez à quel moment le signe change.