Liczby ujemne — zasady dodawania i mnożenia

Liczby ujemne to liczby mniejsze od zera. Aby je dodawać, sprawdź, czy znaki są takie same. Aby je mnożyć, patrz tylko na to, czy znaki są takie same, czy różne.

Pojawiają się wszędzie tam, gdzie wartość jest poniżej punktu odniesienia, na przykład przy temperaturze poniżej $0$, długu albo położeniu na lewo od $0$ na osi liczbowej.

Zasady dodawania i mnożenia liczb ujemnych

Jeśli potrzebujesz tylko najważniejszych zasad, skorzystaj z tych:

Gdy dodajesz liczby o tym samym znaku, dodaj ich odległości od zera i zachowaj ten znak.

$$(-3) + (-5) = -8$$

Gdy dodajesz liczby o różnych znakach, odejmij mniejszą odległość od zera od większej, a potem zachowaj znak liczby o większej odległości od zera.

$$(-8) + 3 = -5$$

Gdy mnożysz dwie liczby o tym samym znaku, iloczyn jest dodatni. Gdy znaki są różne, iloczyn jest ujemny.

$$(-4)(-2) = 8,\quad (-4)(2) = -8$$

Co oznaczają liczby ujemne

Liczba ujemna to nie tylko „liczba ze znakiem minus”. Znak mówi, że wartość leży po przeciwnej stronie zera niż liczba dodatnia, a jej wielkość mówi, jak daleko od zera się znajduje.

Dlatego liczby ujemne są tak przydatne. Mogą oznaczać położenie poniżej poziomu morza, dług, ruch w lewo na wykresie albo spadek poniżej wartości bazowej.

Jak dodawać liczby ujemne

Dodawanie staje się łatwiejsze, jeśli wyobrazisz sobie ruch na osi liczbowej.

Dodanie liczby dodatniej oznacza ruch w prawo. Dodanie liczby ujemnej oznacza ruch w lewo.

Na przykład

$$-2 + (-3)$$

zaczyna się od $-2$ i przesuwa o $3$ jednostki w lewo, więc wynikiem jest $-5$.

Jeśli znaki są różne, ruchy „rywalizują” ze sobą. W wyrażeniu

$$-7 + 4$$

zaczynasz od $-7$ i przesuwasz się o $4$ jednostki w prawo. Nie dochodzisz do zera, więc odpowiedź to $-3$.

Pewna zasada brzmi:

1. Te same znaki: dodaj odległości od zera i zachowaj wspólny znak.
2. Różne znaki: odejmij odległości od zera i zachowaj znak liczby bardziej oddalonej od zera.

Przykład: $-6 + 9$

Oblicz:

$$-6 + 9$$

Znaki są różne, więc nie dodawaj od razu $6$ i $9$. Najpierw porównaj ich odległości od zera. Ponieważ $9$ jest dalej od zera niż $6$, końcowy wynik będzie dodatni.

Teraz odejmij odległości:

$$9 - 6 = 3$$

Zatem

$$-6 + 9 = 3$$

To jest kluczowa idea przy dodawaniu liczb ze znakami: przy przeciwnych znakach o znaku wyniku decyduje większa odległość od zera.

Dlaczego liczba ujemna razy liczba ujemna daje wynik dodatni

Zasada mnożenia jest inna niż zasada dodawania. Przy mnożeniu najpierw mnożysz wartości bezwzględne, a potem ustalasz znak na podstawie tego, czy znaki są takie same.

Jeśli znaki są różne, iloczyn jest ujemny:

$$3 \cdot (-2) = -6$$

Jeśli znaki są takie same, iloczyn jest dodatni:

$$(-3)\cdot(-2) = 6$$

W większości szkolnych zadań wystarczy ta zasada:

1. Te same znaki dają dodatni iloczyn.
2. Różne znaki dają ujemny iloczyn.

Typowe błędy przy liczbach ujemnych

Częstym błędem jest stosowanie zasady znaków z mnożenia do dodawania. Przy dodawaniu znak zależy od tego, która liczba jest dalej od zera, gdy znaki są różne. Przy mnożeniu tak nie jest.

Innym błędem jest pomijanie nawiasów. Na przykład

$$-3^2 = -(3^2) = -9$$

ale

$$(-3)^2 = 9$$

Nawiasy zmieniają to, co jest podnoszone do kwadratu.

Trzecim błędem jest pozostawienie złego znaku w wyrażeniach takich jak $-10 + 6$. Ponieważ $10$ jest dalej od zera niż $6$, wynikiem jest $-4$, a nie $4$.

Gdzie używa się liczb ujemnych

Liczby ujemne pojawiają się w temperaturze, wysokości, finansach, geometrii analitycznej, algebrze i fizyce. Gdy zasady znaków stają się naturalne, dużo łatwiej poprawnie odczytywać równania i unikać drobnych błędów ze znakami, które zmieniają cały wynik.

Spróbuj podobnego zadania

Spróbuj obliczyć bez kalkulatora: $-4 + 11$, $-9 + (-2)$ oraz $(-5)(3)$. Wypowiedz zasadę, zanim zaczniesz liczyć. Jeśli chcesz sprawdzić dłuższe wyrażenie krok po kroku, wpisz własny przykład do solvera i zobacz, w którym miejscu zmienia się znak.