几何公式速查表

这份几何公式速查表把面积、周长、圆周长、表面积和体积的常用公式集中在一处。开始计算前，可以先用它把正确的公式和对应的图形配对。

二维与三维图形的几何公式

二维图形

图形	所求量	公式
正方形	周长	$P = 4s$
正方形	面积	$A = s^2$
长方形	周长	$P = 2l + 2w$
长方形	面积	$A = lw$
三角形	周长	$P = a + b + c$
三角形	面积	$A = \frac\{1\}\{2\}bh$
平行四边形	面积	$A = bh$
梯形	面积	$A = \frac\{1\}\{2\}(b_1 + b_2)h$
圆	圆周长	$C = 2\pi r$
圆	面积	$A = \pi r^2$

三维立体

立体	所求量	公式
长方体	体积	$V = lwh$
长方体	表面积	$SA = 2lw + 2lh + 2wh$
圆柱	体积	$V = \pi r^2 h$
圆柱	表面积	$SA = 2\pi rh + 2\pi r^2$
圆锥	体积	$V = \frac\{1\}\{3\}\pi r^2 h$
圆锥	表面积	$SA = \pi r\ell + \pi r^2$
球	体积	$V = \frac\{4\}\{3\}\pi r^3$
球	表面积	$SA = 4\pi r^2$

在圆锥表面积公式中，$\ell$ 表示母线长，不是竖直高度。这个条件很重要。

如何选择正确的几何公式

先看图形。圆的公式不能用来解三角形，二维面积公式也不能回答三维体积问题。

然后判断题目要求的是哪一种量：

1. 求图形一周的长度，用周长或圆周长。
2. 求二维图形内部的平面大小，用面积。
3. 求三维立体外表总覆盖面积，用表面积。
4. 求三维立体内部所占空间，用体积。

这个快速检查能避免很多错误答案。

例题：三角形面积

求一个底边为 $10$ cm、垂直高为 $6$ cm 的三角形面积。

使用三角形面积公式：

$$A = \frac{1}{2}bh$$

代入已知数据：

$$A = \frac{1}{2}(10)(6) = 30$$

所以面积是 $30$ 平方厘米，即 $30\ \mathrm{cm}^2$。

这个例子很有用，因为它说明了垂直高的作用。如果题目中的 $6$ cm 只是斜边而不是到底边的垂线高，那么这个公式就不能直接这样使用。

几何公式中的常见错误

1. 把面积和周长混淆。面积用平方单位，周长用长度单位。
2. 公式需要半径却用了直径。如果圆已知的是 $d$，先用 $r = \frac{d}{2}$ 转换。
3. 用错高。在 $A = \frac{1}{2}bh$ 这类公式中，高必须垂直于底边。
4. 忘记写单位。边长用米表示的长方形，面积单位应是平方米，而不是米。
5. 只因为变量看起来熟悉，就把背过的公式套到错误的图形上。

几何公式的应用场景

几何公式会出现在学校数学、建筑施工、设计、工程以及日常估算中。你可能会用它们来计算地板面积、围栏长度、容器体积，或覆盖某个表面所需的材料量。

即使软件可以完成计算，知道哪个公式适合哪个图形，仍然能帮助你发现错误输入和不合理结果。

试试类似的问题

试着求一个半径为 $4$ 个单位的圆的圆周长和面积。在两个公式中使用同一个半径，是理解线性量 $C = 2\pi r$ 与平方量 $A = \pi r^2$ 区别的好方法。