図形の公式チートシート

この図形の公式チートシートでは、面積、周長、円周、表面積、体積の基本公式を1か所にまとめています。計算を始める前に、図形に合った正しい公式を選ぶために使ってください。

2次元図形と3次元立体の図形公式

2次元図形

図形	求めたいもの	公式
正方形	周長	$P = 4s$
正方形	面積	$A = s^2$
長方形	周長	$P = 2l + 2w$
長方形	面積	$A = lw$
三角形	周長	$P = a + b + c$
三角形	面積	$A = \frac\{1\}\{2\}bh$
平行四辺形	面積	$A = bh$
台形	面積	$A = \frac\{1\}\{2\}(b_1 + b_2)h$
円	円周	$C = 2\pi r$
円	面積	$A = \pi r^2$

3次元立体

立体	求めたいもの	公式
直方体	体積	$V = lwh$
直方体	表面積	$SA = 2lw + 2lh + 2wh$
円柱	体積	$V = \pi r^2 h$
円柱	表面積	$SA = 2\pi rh + 2\pi r^2$
円すい	体積	$V = \frac\{1\}\{3\}\pi r^2 h$
円すい	表面積	$SA = \pi r\ell + \pi r^2$
球	体積	$V = \frac\{4\}\{3\}\pi r^3$
球	表面積	$SA = 4\pi r^2$

円すいの表面積の公式では、$\ell$ は高さではなく母線です。この条件は重要です。

正しい図形公式の選び方

まず図形を確認します。円の公式は三角形には使えませんし、2次元の面積の公式では3次元の体積は求められません。

次に、問題がどの種類の量を求めているかを考えます。

1. 図形のまわりの長さには、周長または円周を使います。
2. 2次元図形の内側の広さには、面積を使います。
3. 3次元立体の外側全体の広さには、表面積を使います。
4. 3次元立体の内部の大きさには、体積を使います。

この短い確認だけで、多くの間違いを防げます。

例題：三角形の面積

底辺が $10$ cm、底辺に垂直な高さが $6$ cm の三角形の面積を求めます。

三角形の面積の公式を使います。

$$A = \frac{1}{2}bh$$

値を代入します。

$$A = \frac{1}{2}(10)(6) = 30$$

したがって、面積は $30$ 平方センチメートル、つまり $30\ \mathrm{cm}^2$ です。

この例が役立つのは、垂直な高さの意味がわかるからです。もし与えられた $6$ cm がただの斜めの辺で、底辺に垂直でなければ、この公式はそのままでは使えません。

図形公式でよくある間違い

1. 面積と周長を混同すること。面積は平方単位、周長は長さの単位を使います。
2. 公式が半径を必要としているのに直径をそのまま使うこと。円で $d$ が与えられたら、まず $r = \frac{d}{2}$ に直します。
3. 高さを取り違えること。$A = \frac{1}{2}bh$ のような公式では、高さは底辺に垂直でなければなりません。
4. 単位を書き忘れること。辺の長さがメートルの長方形なら、面積はメートルではなく平方メートルです。
5. 変数が似ているというだけで、覚えた公式を別の図形に当てはめてしまうこと。

図形公式が使われる場面

図形公式は、学校の数学だけでなく、建設、設計、工学、日常の見積もりでも使われます。床の面積、フェンスの長さ、容器の体積、表面を覆うのに必要な材料の量などを求めるときに役立ちます。

ソフトウェアが計算をしてくれる場合でも、どの公式が図形に合っているかを知っていれば、入力ミスや不自然な結果に気づきやすくなります。

似た問題に挑戦

半径 $4$ の円の円周と面積を求めてみましょう。同じ半径を2つの公式に使うと、長さの量である $C = 2\pi r$ と、平方の量である $A = \pi r^2$ の違いがよくわかります。