勾股定理——公式、证明与例题

勾股定理指出：在直角三角形中，斜边的平方等于另外两条边的平方和。如果两条直角边分别是 $a$ 和 $b$，斜边是 $c$，那么

$$a^2 + b^2 = c^2$$

这个公式只能用于直角三角形。斜边是直角所对的边，而且它总是最长的一边。

这个公式表示什么

如果你从面积的角度来理解，而不只是记边长，勾股定理会更容易记住。在直角三角形的每一条边上分别作一个正方形。边 $c$ 上正方形的面积，等于边 $a$ 和边 $b$ 上两个正方形面积之和。

这就是为什么边长要平方。这个定理比较的是正方形的面积，所以关系式是 $a^2 + b^2 = c^2$，而不是 $a + b = c$。

为什么勾股定理成立

一种经典证明方法是：先作一个边长为 $a + b$ 的大正方形。在里面放入四个全等的直角三角形，使它们的斜边围成中间一个较小的正方形。

大正方形的面积是

$$(a+b)^2$$

四个三角形的总面积是

$$4 \left( \frac{1}{2}ab \right) = 2ab$$

中间小正方形的边长是 $c$，所以它的面积是

$$c^2$$

因为大正方形正好由这四个三角形和中间的小正方形组成，所以

$$(a+b)^2 = 2ab + c^2$$

展开并化简：

$$a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2$$ $$a^2 + b^2 = c^2$$

例题：求斜边

假设一个直角三角形的两条直角边分别是 $6$ 和 $8$。要求斜边 $c$，把这些数代入定理：

$$6^2 + 8^2 = c^2$$ $$36 + 64 = c^2$$ $$100 = c^2$$ $$c = 10$$

所以斜边是 $10$。这个答案是合理的，因为斜边应该比任意一条直角边都长。

关于 $a^2 + b^2 = c^2$ 的常见错误

最常见的错误，是把这个定理用在不是直角三角形的三角形上。这个公式必须有一个 $90^\circ$ 的角。

另一个错误，是把错误的边当成 $c$。斜边永远在直角的对面，而且一定是最长的一边。

有些同学也会过早停下。如果你算出 $c^2 = 100$，那么边长应是 $c = 10$，不是 $100$。

还有些同学会把 $a^2 + b^2 = c^2$ 和 $(a+b)^2 = c^2$ 混淆。它们不是同一个式子。

什么时候使用勾股定理

当两条长度在直角处相交，而你需要求这个角对面的直线距离时，就可以使用勾股定理。常见情形包括：矩形的对角线、两点之间的直线距离，以及基础的施工或测量布局。

它也可以用来判断一个三角形是否是直角三角形。如果一个三角形的边长满足 $a^2 + b^2 = c^2$，并且 $c$ 是最长边，那么这个三角形就是直角三角形。

试一道类似的题

你可以自己试试两条直角边分别为 $5$ 和 $12$ 的情况。如果你得到 $13$，说明你的列式是正确的。

如果你想继续学习一个很有用的下一步，可以看看距离公式，了解同样的思想如何应用在坐标平面上。