圆的面积——公式、推导与例题

要求圆的面积，把半径平方后再乘以 $\pi$：

$$A = \pi r^2$$

这个公式用的是半径，不是直径。如果题目给出直径 $d$，先用 $r = d/2$ 进行换算。这个关系也可以写成

$$A = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$$

如果题目要求精确值，就把结果保留为含 $\pi$ 的形式。如果要求小数近似值，可以用 $\pi \approx 3.14$。

圆的面积公式：它表示什么

$r^2$ 表示面积会随着半径的平方增长。如果半径变成原来的 $2$ 倍，面积会变成原来的 $4$ 倍，而不是 $2$ 倍。

这是最需要记住的一点。因为半径要平方，所以圆的面积变化得很快。

为什么圆的面积是 $A = \pi r^2$

一种常见的推导方法，是把圆分成很多很细的扇形，再把它们交错重新排列。扇形分得越细，重新拼出的图形就越接近一个长方形。

在这个图形里，长方形的高大约是 $r$，底大约是圆周长的一半：

$$\frac{1}{2}(2\pi r) = \pi r$$

所以面积就趋近于

$$A = (\pi r)(r) = \pi r^2$$

这样不用高深的几何知识，也能直观理解这个公式。你想象的扇形越多，重新排列后的图形就越接近真正的长方形。

半径为 $6$ cm 的圆面积例题

假设一个圆的半径是 $6$ cm。先写出公式：

$$A = \pi r^2 = \pi(6)^2 = 36\pi$$

所以精确面积是 $36\pi\ \text{cm}^2$。

如果需要小数近似值，那么

$$A \approx 36(3.14) = 113.04\ \text{cm}^2$$

当题目要求“用含 $\pi$ 的形式表示”时，用精确形式。只有在题目要求估算或小数时，才写成小数形式。

已知直径时，怎样求圆的面积

如果直径是 $12$ cm，先换算成半径：

$$r = \frac{12}{2} = 6$$

然后再用通常的公式：

$$A = \pi(6)^2 = 36\pi\ \text{cm}^2$$

很多错误就出现在这里。如果你把 $12$ 直接代入 $A = \pi r^2$，会得到 $144\pi$，而不是 $36\pi$，结果会大了 $4$ 倍。

圆面积常见错误

1. 直接把直径当成半径使用。
2. 忘记对半径平方。
3. 结果写成普通单位，而不是平方单位。
4. 题目要求含 $\pi$ 的精确值时，过早进行近似。
5. 把面积和周长混淆。面积表示内部所占的大小；周长表示边界一圈的长度。

什么时候要用圆的面积

当你需要求平面上一个圆形区域的大小时，就要用圆的面积。常见例子有披萨、圆桌桌面、圆形花坛，或者管道的横截面。

如果题目问的是覆盖圆形表面所需的材料、圆形表面需要多少油漆，或者圆形边界内部有多大空间，通常都应该用面积。

做完前的一个快速检查

问问自己，答案的大小是否合理。半径为 $10$ 的圆，面积应该比半径为 $5$ 的圆大很多，因为半径加倍后，面积会乘以 $4$。

这个快速检查能发现很多把半径和直径弄混的错误。

试试类似题目

你可以自己试一道直径为 $18$ cm 的题。先换算成半径，再求精确面积，最后如果需要，再算出小数近似值。你也可以比较半径从 $4$ cm 变成 $8$ cm 时面积的变化，并检查为什么面积变成原来的 $4$ 倍，而不是 $2$ 倍。