Σκονάκι Τύπων Γεωμετρίας

Αυτό το σκονάκι τύπων γεωμετρίας συγκεντρώνει τους βασικούς τύπους για εμβαδό, περίμετρο, μήκος κύκλου, ολική επιφάνεια και όγκο σε ένα σημείο. Χρησιμοποίησέ το για να ταιριάξεις τον σωστό τύπο με το σωστό σχήμα πριν αρχίσεις τους υπολογισμούς.

Τύποι Γεωμετρίας για 2Δ και 3Δ Σχήματα

2Δ Σχήματα

Σχήμα	Τι θέλεις να βρεις	Τύπος
Τετράγωνο	Περίμετρος	$P = 4s$
Τετράγωνο	Εμβαδό	$A = s^2$
Ορθογώνιο	Περίμετρος	$P = 2l + 2w$
Ορθογώνιο	Εμβαδό	$A = lw$
Τρίγωνο	Περίμετρος	$P = a + b + c$
Τρίγωνο	Εμβαδό	$A = \frac\{1\}\{2\}bh$
Παραλληλόγραμμο	Εμβαδό	$A = bh$
Τραπέζιο	Εμβαδό	$A = \frac\{1\}\{2\}(b_1 + b_2)h$
Κύκλος	Μήκος κύκλου	$C = 2\pi r$
Κύκλος	Εμβαδό	$A = \pi r^2$

3Δ Στερεά

Στερεό	Τι θέλεις να βρεις	Τύπος
Ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο	Όγκος	$V = lwh$
Ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο	Ολική επιφάνεια	$SA = 2lw + 2lh + 2wh$
Κύλινδρος	Όγκος	$V = \pi r^2 h$
Κύλινδρος	Ολική επιφάνεια	$SA = 2\pi rh + 2\pi r^2$
Κώνος	Όγκος	$V = \frac\{1\}\{3\}\pi r^2 h$
Κώνος	Ολική επιφάνεια	$SA = \pi r\ell + \pi r^2$
Σφαίρα	Όγκος	$V = \frac\{4\}\{3\}\pi r^3$
Σφαίρα	Ολική επιφάνεια	$SA = 4\pi r^2$

Στον τύπο της ολικής επιφάνειας του κώνου, το $\ell$ είναι το λοξό ύψος και όχι το κατακόρυφο ύψος. Αυτή η προϋπόθεση είναι σημαντική.

Πώς να Διαλέξεις τον Σωστό Τύπο Γεωμετρίας

Ξεκίνα από το σχήμα. Ένας τύπος για κύκλο δεν θα σε βοηθήσει σε ένα τρίγωνο, και ένας δισδιάστατος τύπος εμβαδού δεν απαντά σε μια τρισδιάστατη ερώτηση όγκου.

Έπειτα σκέψου τι είδους μέγεθος ζητά η άσκηση:

1. Χρησιμοποίησε περίμετρο ή μήκος κύκλου για την απόσταση γύρω από ένα σχήμα.
2. Χρησιμοποίησε εμβαδό για την επίπεδη επιφάνεια μέσα σε ένα 2Δ σχήμα.
3. Χρησιμοποίησε ολική επιφάνεια για το συνολικό εξωτερικό κάλυμμα ενός 3Δ στερεού.
4. Χρησιμοποίησε όγκο για τον χώρο μέσα σε ένα 3Δ στερεό.

Αυτός ο γρήγορος έλεγχος αποτρέπει πολλές λανθασμένες απαντήσεις.

Λυμένο Παράδειγμα: Εμβαδό Τριγώνου

Να βρεθεί το εμβαδό ενός τριγώνου με βάση $10$ cm και κάθετο ύψος $6$ cm.

Χρησιμοποίησε τον τύπο εμβαδού τριγώνου:

$$A = \frac{1}{2}bh$$

Αντικατάστησε τις μετρήσεις:

$$A = \frac{1}{2}(10)(6) = 30$$

Άρα το εμβαδό είναι $30$ τετραγωνικά εκατοστά, δηλαδή $30\ \mathrm{cm}^2$.

Αυτό το παράδειγμα είναι χρήσιμο γιατί δείχνει τον ρόλο του κάθετου ύψους. Αν τα $6$ cm ήταν απλώς μια λοξή πλευρά και όχι κάθετη στη βάση, ο τύπος δεν θα εφαρμοζόταν όπως είναι γραμμένος.

Συνηθισμένα Λάθη στους Τύπους Γεωμετρίας

1. Μπέρδεμα ανάμεσα σε εμβαδό και περίμετρο. Το εμβαδό έχει τετραγωνικές μονάδες, ενώ η περίμετρος γραμμικές μονάδες.
2. Χρήση της διαμέτρου όταν ο τύπος ζητά ακτίνα. Αν για έναν κύκλο δίνεται το $d$, πρώτα μετέτρεψέ το με $r = \frac{d}{2}$.
3. Χρήση λάθος ύψους. Σε τύπους όπως $A = \frac{1}{2}bh$, το ύψος πρέπει να είναι κάθετο στη βάση.
4. Παράλειψη μονάδων. Ένα ορθογώνιο με πλευρές σε μέτρα έχει εμβαδό σε τετραγωνικά μέτρα, όχι σε μέτρα.
5. Εφαρμογή ενός απομνημονευμένου τύπου σε λάθος σχήμα μόνο και μόνο επειδή οι μεταβλητές μοιάζουν γνώριμες.

Πού Χρησιμοποιούνται οι Τύποι Γεωμετρίας

Οι τύποι γεωμετρίας εμφανίζονται στα σχολικά μαθηματικά, στις κατασκευές, στον σχεδιασμό, στη μηχανική και σε καθημερινές εκτιμήσεις. Μπορεί να τους χρησιμοποιήσεις για να βρεις το εμβαδό δαπέδου, το μήκος περίφραξης, τον όγκο ενός δοχείου ή την ποσότητα υλικού που χρειάζεται για να καλυφθεί μια επιφάνεια.

Ακόμα κι όταν το λογισμικό κάνει τους υπολογισμούς, το να ξέρεις ποιος τύπος ταιριάζει σε κάθε σχήμα σε βοηθά να εντοπίζεις λανθασμένα δεδομένα και παράλογα αποτελέσματα.

Δοκίμασε ένα Παρόμοιο Πρόβλημα

Δοκίμασε να βρεις το μήκος κύκλου και το εμβαδό ενός κύκλου με ακτίνα $4$ μονάδες. Η χρήση της ίδιας ακτίνας και στους δύο τύπους είναι καλός τρόπος για να δεις τη διαφορά ανάμεσα σε ένα γραμμικό μέγεθος, $C = 2\pi r$, και σε ένα τετραγωνικό μέγεθος, $A = \pi r^2$.