Spickzettel zu Geometrieformeln

Dieser Spickzettel zu Geometrieformeln enthält die wichtigsten Formeln für Flächeninhalt, Umfang, Kreisumfang, Oberfläche und Volumen an einem Ort. Nutze ihn, um vor dem Rechnen die richtige Formel der richtigen Form zuzuordnen.

Geometrieformeln für 2D- und 3D-Formen

2D-Formen

Form	Gesucht	Formel
Quadrat	Umfang	$P = 4s$
Quadrat	Flächeninhalt	$A = s^2$
Rechteck	Umfang	$P = 2l + 2w$
Rechteck	Flächeninhalt	$A = lw$
Dreieck	Umfang	$P = a + b + c$
Dreieck	Flächeninhalt	$A = \frac\{1\}\{2\}bh$
Parallelogramm	Flächeninhalt	$A = bh$
Trapez	Flächeninhalt	$A = \frac\{1\}\{2\}(b_1 + b_2)h$
Kreis	Kreisumfang	$C = 2\pi r$
Kreis	Flächeninhalt	$A = \pi r^2$

3D-Körper

Körper	Gesucht	Formel
Quader	Volumen	$V = lwh$
Quader	Oberfläche	$SA = 2lw + 2lh + 2wh$
Zylinder	Volumen	$V = \pi r^2 h$
Zylinder	Oberfläche	$SA = 2\pi rh + 2\pi r^2$
Kegel	Volumen	$V = \frac\{1\}\{3\}\pi r^2 h$
Kegel	Oberfläche	$SA = \pi r\ell + \pi r^2$
Kugel	Volumen	$V = \frac\{4\}\{3\}\pi r^3$
Kugel	Oberfläche	$SA = 4\pi r^2$

Bei der Formel für die Kegeloberfläche ist $\ell$ die Mantellinie und nicht die senkrechte Höhe. Diese Bedingung ist wichtig.

So wählst du die richtige Geometrieformel

Beginne mit der Form. Eine Kreisformel hilft dir nicht bei einem Dreieck, und eine Flächenformel für 2D beantwortet keine Volumenfrage zu einem 3D-Körper.

Frage dann, welche Art von Größe in der Aufgabe gesucht ist:

1. Verwende Umfang oder Kreisumfang für die Strecke um eine Form herum.
2. Verwende Flächeninhalt für den ebenen Raum innerhalb einer 2D-Form.
3. Verwende Oberfläche für die gesamte äußere Hülle eines 3D-Körpers.
4. Verwende Volumen für den Raum innerhalb eines 3D-Körpers.

Diese kurze Prüfung verhindert viele falsche Antworten.

Durchgerechnetes Beispiel: Flächeninhalt eines Dreiecks

Bestimme den Flächeninhalt eines Dreiecks mit Grundseite $10$ cm und senkrechter Höhe $6$ cm.

Verwende die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks:

$$A = \frac{1}{2}bh$$

Setze die Maße ein:

$$A = \frac{1}{2}(10)(6) = 30$$

Der Flächeninhalt beträgt also $30$ Quadratzentimeter oder $30\ \mathrm{cm}^2$.

Dieses Beispiel ist nützlich, weil es die Rolle der senkrechten Höhe zeigt. Wenn die gegebenen $6$ cm nur eine schräge Seite und nicht senkrecht zur Grundseite wären, könnte die Formel so nicht angewendet werden.

Häufige Fehler bei Geometrieformeln

1. Flächeninhalt und Umfang verwechseln. Der Flächeninhalt hat Quadrateinheiten, der Umfang dagegen Längeneinheiten.
2. Den Durchmesser verwenden, obwohl die Formel den Radius erwartet. Wenn bei einem Kreis $d$ gegeben ist, rechne zuerst mit $r = \frac{d}{2}$ um.
3. Die falsche Höhe verwenden. In Formeln wie $A = \frac{1}{2}bh$ muss die Höhe senkrecht auf der Grundseite stehen.
4. Einheiten vergessen. Ein Rechteck mit Seitenlängen in Metern hat einen Flächeninhalt in Quadratmetern, nicht in Metern.
5. Eine auswendig gelernte Formel auf die falsche Form anwenden, nur weil die Variablen vertraut aussehen.

Wann Geometrieformeln verwendet werden

Geometrieformeln begegnen dir in der Schulmathematik, im Bauwesen, im Design, in der Technik und bei Schätzungen im Alltag. Du kannst sie verwenden, um die Fläche eines Bodens, die Länge eines Zauns, das Volumen eines Behälters oder die benötigte Materialmenge für eine Oberfläche zu bestimmen.

Selbst wenn Software die Rechnung übernimmt, hilft dir das Wissen über die passende Formel zur Form dabei, falsche Eingaben und unplausible Ergebnisse zu erkennen.

Probiere eine ähnliche Aufgabe

Versuche, den Kreisumfang und den Flächeninhalt eines Kreises mit Radius $4$ Einheiten zu berechnen. Wenn du in beiden Formeln denselben Radius verwendest, erkennst du gut den Unterschied zwischen einem linearen Maß, $C = 2\pi r$, und einem quadratischen Maß, $A = \pi r^2$.