Ściąga ze wzorów geometrycznych

Ta ściąga ze wzorów geometrycznych zbiera w jednym miejscu najważniejsze wzory na pole, obwód, długość okręgu, pole powierzchni i objętość. Użyj jej, aby dopasować właściwy wzór do właściwej figury, zanim zaczniesz obliczenia.

Wzory geometryczne dla figur 2D i brył 3D

Figury 2D

Figura	Czego szukasz	Wzór
Kwadrat	Obwód	$P = 4s$
Kwadrat	Pole	$A = s^2$
Prostokąt	Obwód	$P = 2l + 2w$
Prostokąt	Pole	$A = lw$
Trójkąt	Obwód	$P = a + b + c$
Trójkąt	Pole	$A = \frac\{1\}\{2\}bh$
Równoległobok	Pole	$A = bh$
Trapez	Pole	$A = \frac\{1\}\{2\}(b_1 + b_2)h$
Koło	Długość okręgu	$C = 2\pi r$
Koło	Pole	$A = \pi r^2$

Bryły 3D

Bryła	Czego szukasz	Wzór
Prostopadłościan	Objętość	$V = lwh$
Prostopadłościan	Pole powierzchni	$SA = 2lw + 2lh + 2wh$
Walec	Objętość	$V = \pi r^2 h$
Walec	Pole powierzchni	$SA = 2\pi rh + 2\pi r^2$
Stożek	Objętość	$V = \frac\{1\}\{3\}\pi r^2 h$
Stożek	Pole powierzchni	$SA = \pi r\ell + \pi r^2$
Kula	Objętość	$V = \frac\{4\}\{3\}\pi r^3$
Kula	Pole powierzchni	$SA = 4\pi r^2$

We wzorze na pole powierzchni stożka $\ell$ oznacza tworzącą, a nie wysokość pionową. Ten warunek ma znaczenie.

Jak wybrać właściwy wzór geometryczny

Zacznij od figury. Wzór dla koła nie pomoże przy trójkącie, a wzór na pole figury 2D nie odpowie na pytanie o objętość bryły 3D.

Następnie zapytaj, jakiego rodzaju wielkości wymaga zadanie:

1. Użyj obwodu lub długości okręgu dla odległości wokół figury.
2. Użyj pola dla płaskiej przestrzeni wewnątrz figury 2D.
3. Użyj pola powierzchni dla całkowitej zewnętrznej powierzchni bryły 3D.
4. Użyj objętości dla przestrzeni wewnątrz bryły 3D.

Taka szybka kontrola pozwala uniknąć wielu błędnych odpowiedzi.

Rozwiązany przykład: pole trójkąta

Znajdź pole trójkąta o podstawie $10$ cm i wysokości prostopadłej $6$ cm.

Użyj wzoru na pole trójkąta:

$$A = \frac{1}{2}bh$$

Podstaw dane:

$$A = \frac{1}{2}(10)(6) = 30$$

Zatem pole wynosi $30$ centymetrów kwadratowych, czyli $30\ \mathrm{cm}^2$.

Ten przykład jest przydatny, ponieważ pokazuje rolę wysokości prostopadłej. Gdyby podane $6$ cm było tylko bokiem nachylonym, a nie prostopadłym do podstawy, wzoru nie można by zastosować w tej postaci.

Częste błędy we wzorach geometrycznych

1. Mylenie pola i obwodu. Pole ma jednostki kwadratowe, a obwód jednostki długości.
2. Używanie średnicy, gdy wzór wymaga promienia. Jeśli dla koła podano $d$, najpierw przelicz na $r = \frac{d}{2}$.
3. Używanie niewłaściwej wysokości. We wzorach takich jak $A = \frac{1}{2}bh$ wysokość musi być prostopadła do podstawy.
4. Zapominanie o jednostkach. Prostokąt o bokach podanych w metrach ma pole w metrach kwadratowych, a nie w metrach.
5. Stosowanie zapamiętanego wzoru do niewłaściwej figury tylko dlatego, że zmienne wyglądają znajomo.

Gdzie używa się wzorów geometrycznych

Wzory geometryczne pojawiają się w szkolnej matematyce, budownictwie, projektowaniu, inżynierii i codziennych szacunkach. Możesz ich użyć do obliczenia powierzchni podłogi, długości ogrodzenia, objętości pojemnika albo ilości materiału potrzebnego do pokrycia powierzchni.

Nawet gdy obliczenia wykonuje program, wiedza o tym, który wzór pasuje do danej figury, pomaga wychwycić błędne dane wejściowe i nierozsądne wyniki.

Spróbuj podobnego zadania

Spróbuj obliczyć długość okręgu i pole koła o promieniu $4$ jednostek. Użycie tego samego promienia w obu wzorach dobrze pokazuje różnicę między wielkością liniową, $C = 2\pi r$, a wielkością kwadratową, $A = \pi r^2$.