常见立体图形的体积公式

下面是常见立体图形的主要体积公式：棱柱和圆柱用底面积乘高，棱锥和圆锥是这一规律的三分之一，而球体使用基于半径的公式。看清这个结构后，这些公式会更容易理解和记忆。

常见立体图形的体积公式

立体图形	体积公式	需要知道什么
长方体	$V = lwh$	长、宽、高
正方体	$V = s^3$	所有棱长都相等
任意棱柱	$V = Bh$	$B$ 表示底面积
圆柱	$V = \pi r^2 h$	与 $Bh$ 相同，因为底面是圆
任意棱锥	$V = \frac\{1\}\{3\}Bh$	是同底同高棱柱体积的三分之一
圆锥	$V = \frac\{1\}\{3\}\pi r^2 h$	是同底同高圆柱体积的三分之一
球体	$V = \frac\{4\}\{3\}\pi r^3$	用的是半径，不是高

对于棱锥和圆锥，$h$ 表示垂直高度。如果题目给的是斜高，那么这个数不能直接代入体积公式。

为什么大多数体积公式都遵循同一种规律

最简单的想法是：

$$V = Bh$$

这里，$B$ 表示底面积，$h$ 是从底面垂直向上测量的高度。

这一个规律就能同时解释好几个公式。长方体的底面是长方形，所以 $B = lw$，公式就变成 $V = lwh$。圆柱的底面是圆，所以 $B = \pi r^2$，公式就变成 $V = \pi r^2 h$。

棱锥和圆锥也使用相同的底面积与高的思路，但它们的体积只有对应棱柱或圆柱的三分之一：

$$V = \frac{1}{3}Bh$$

球体是常见立体图形中主要不符合“底面积乘高”这一规律的图形，所以它的公式值得单独记忆。

例题：求圆锥的体积

求一个半径为 $3$ cm、高为 $8$ cm 的圆锥的体积。

使用圆锥公式：

$$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$

代入数值：

$$V = \frac{1}{3}\pi (3^2)(8)$$

化简：

$$V = \frac{1}{3}\pi (9)(8) = \frac{72}{3}\pi = 24\pi$$

所以体积是 $24\pi\ \text{cm}^3$，约等于 $75.4\ \text{cm}^3$。

这个例子很有用，因为与它同半径同高的圆柱体积会是 $72\pi\ \text{cm}^3$。圆锥的体积正好是它的三分之一，这也是一个很好的内置检验方法。

体积公式中的常见错误

1. 公式需要半径，却误用了直径。如果已知的是 $d$，先用 $r = \frac{d}{2}$ 转换。
2. 对圆锥或棱锥使用了斜高。体积公式使用的是垂直高度。
3. 把表面积和体积混淆。体积表示内部有多少空间，不是外表覆盖了多少面积。
4. 忘记写立方单位。体积应写成 $\text{cm}^3$、$\text{m}^3$ 或 $\text{in}^3$ 这样的单位。
5. 把 $B$ 当成边长而不是底面积。在 $V = Bh$ 中，$B$ 本身已经是一个面积。

什么时候使用体积公式

当你需要求一个立体物体的容积或内部大小时，就要用到体积公式。在课堂上，这通常出现在几何题中。在课堂之外，同样的思路也会出现在估算箱子能装多少东西、水箱能装多少液体，或者容器里能装多少材料时。

不过条件也很重要：公式的准确性取决于图形模型本身是否合适。如果现实中的物体只是近似圆柱体或球体，那么结果也只是近似值。

自己试一试

选一个半径为 $4$ 个单位、高为 $10$ 个单位的圆柱，然后求它的体积。接着保持相同的底面和高度，把它改成圆锥。把这两个答案放在一起比较，是记住这些公式最快的方法之一。