기하 공식 치트시트

이 기하 공식 치트시트는 넓이, 둘레, 원주, 겉넓이, 부피의 핵심 공식을 한곳에 모아 둔 자료입니다. 계산을 시작하기 전에 도형에 맞는 공식을 빠르게 찾는 데 활용하세요.

2차원 도형과 3차원 입체의 기하 공식

2차원 도형

도형	구하려는 것	공식
정사각형	둘레	$P = 4s$
정사각형	넓이	$A = s^2$
직사각형	둘레	$P = 2l + 2w$
직사각형	넓이	$A = lw$
삼각형	둘레	$P = a + b + c$
삼각형	넓이	$A = \frac\{1\}\{2\}bh$
평행사변형	넓이	$A = bh$
사다리꼴	넓이	$A = \frac\{1\}\{2\}(b_1 + b_2)h$
원	원주	$C = 2\pi r$
원	넓이	$A = \pi r^2$

3차원 입체

입체	구하려는 것	공식
직육면체	부피	$V = lwh$
직육면체	겉넓이	$SA = 2lw + 2lh + 2wh$
원기둥	부피	$V = \pi r^2 h$
원기둥	겉넓이	$SA = 2\pi rh + 2\pi r^2$
원뿔	부피	$V = \frac\{1\}\{3\}\pi r^2 h$
원뿔	겉넓이	$SA = \pi r\ell + \pi r^2$
구	부피	$V = \frac\{4\}\{3\}\pi r^3$
구	겉넓이	$SA = 4\pi r^2$

원뿔의 겉넓이 공식에서 $\ell$은 수직 높이가 아니라 모선입니다. 이 조건은 매우 중요합니다.

올바른 기하 공식을 고르는 방법

먼저 도형부터 확인하세요. 원에 대한 공식은 삼각형 문제에 도움이 되지 않으며, 2차원 넓이 공식으로는 3차원 부피를 구할 수 없습니다.

그다음 문제에서 어떤 종류의 측정값을 요구하는지 확인하세요.

1. 도형의 둘레 길이를 구할 때는 둘레 또는 원주를 사용합니다.
2. 2차원 도형 내부의 평면 크기를 구할 때는 넓이를 사용합니다.
3. 3차원 입체의 바깥 전체를 덮는 크기를 구할 때는 겉넓이를 사용합니다.
4. 3차원 입체 내부의 공간 크기를 구할 때는 부피를 사용합니다.

이 짧은 확인만으로도 많은 오답을 막을 수 있습니다.

풀이 예제: 삼각형의 넓이

밑변이 $10$ cm이고 그 밑변에 수직인 높이가 $6$ cm인 삼각형의 넓이를 구해 봅시다.

삼각형 넓이 공식을 사용합니다.

$$A = \frac{1}{2}bh$$

측정값을 대입하면,

$$A = \frac{1}{2}(10)(6) = 30$$

따라서 넓이는 $30$ 제곱센티미터, 즉 $30\ \mathrm{cm}^2$입니다.

이 예제는 수직 높이의 역할을 잘 보여 줍니다. 만약 주어진 $6$ cm가 밑변에 수직인 높이가 아니라 단지 기울어진 변의 길이라면, 이 공식은 그대로 적용할 수 없습니다.

기하 공식에서 자주 하는 실수

1. 넓이와 둘레를 혼동하는 것. 넓이는 제곱 단위를 쓰고, 둘레는 길이 단위를 씁니다.
2. 공식이 반지름을 요구하는데 지름을 그대로 사용하는 것. 원에서 $d$가 주어지면 먼저 $r = \frac{d}{2}$로 바꾸세요.
3. 잘못된 높이를 사용하는 것. $A = \frac{1}{2}bh$ 같은 공식에서 높이는 반드시 밑변에 수직이어야 합니다.
4. 단위를 빼먹는 것. 변의 길이가 미터인 직사각형의 넓이는 미터가 아니라 제곱미터입니다.
5. 변수 모양이 익숙하다는 이유만으로 외운 공식을 다른 도형에 잘못 적용하는 것.

기하 공식은 언제 쓰이나요?

기하 공식은 학교 수학, 건설, 디자인, 공학, 일상적인 어림 계산 등 여러 곳에서 사용됩니다. 바닥재의 넓이, 울타리 길이, 용기의 부피, 표면을 덮는 데 필요한 재료의 양 등을 구할 때 활용할 수 있습니다.

소프트웨어가 계산을 대신하더라도, 어떤 공식이 도형에 맞는지 알고 있으면 잘못된 입력값이나 비현실적인 결과를 더 쉽게 알아차릴 수 있습니다.

비슷한 문제를 풀어 보세요

반지름이 $4$인 원의 원주와 넓이를 구해 보세요. 같은 반지름을 두 공식에 넣어 보면, 길이 단위인 $C = 2\pi r$와 제곱 단위인 $A = \pi r^2$의 차이를 분명하게 확인할 수 있습니다.