Đạo hàm ẩn

Đạo hàm ẩn cho phép bạn tìm $dy/dx$ ngay cả khi phương trình không tách riêng được $y$. Thay vì giải $y$ trước, bạn lấy đạo hàm hai vế theo $x$ và xem $y$ là một hàm của $x$.

Đạo hàm ẩn có nghĩa là gì

Bắt đầu với một hệ thức như

$$F(x,y) = 0$$

Nếu hệ thức đó xác định $y$ là một hàm khả vi của $x$ trong lân cận điểm bạn đang xét, thì bạn có thể lấy đạo hàm toàn bộ phương trình theo $x$ rồi giải ra $dy/dx$.

Ý chính rất đơn giản:

1. Lấy đạo hàm mọi hạng tử theo $x$.
2. Xem $y$ là đại lượng thay đổi theo $x$.
3. Giải phương trình mới để tìm $dy/dx$.

Bước thứ hai là bước học sinh thường hay bỏ sót. Ví dụ,

$$\frac{d}{dx}(y^2) = 2y \frac{dy}{dx}$$

chứ không chỉ là $2y$.

Vì sao cần dùng nó

Một số đường cong dễ được mô tả bằng một phương trình nhưng lại khó viết thành một công thức duy nhất $y = f(x)$. Đường tròn là ví dụ tiêu biểu:

$$x^2 + y^2 = 25$$

Phương trình này biểu diễn toàn bộ đường tròn cùng lúc. Nếu giải theo $y$, bạn sẽ phải tách thành nửa trên và nửa dưới, nhưng đạo hàm ẩn cho phép bạn tìm hệ số góc trực tiếp từ hệ thức ban đầu.

Ví dụ có lời giải: hệ số góc của đường tròn

Tìm $dy/dx$ của

$$x^2 + y^2 = 25$$

Lấy đạo hàm hai vế theo $x$:

$$\frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(25)$$ $$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$$

Bây giờ giải ra $dy/dx$:

$$2y \frac{dy}{dx} = -2x$$ $$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$$

Công thức này đúng tại các điểm trên đường tròn mà $y \ne 0$. Nếu $y = 0$ thì phép chia cho $y$ là không hợp lệ, và trên đường tròn này các điểm đó tương ứng với tiếp tuyến đứng.

Tại điểm $(3,4)$,

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{3}{4}$$

nên tiếp tuyến tại đó có độ dốc đi xuống.

Quy tắc dây chuyền xuất hiện ở đâu

Quy tắc dây chuyền xuất hiện bất cứ khi nào bạn lấy đạo hàm một hạng tử chứa $y$, vì $y$ phụ thuộc vào $x$.

Chẳng hạn,

$$\frac{d}{dx}(y^2) = 2y \frac{dy}{dx}$$

và

$$\frac{d}{dx}(\sin y) = \cos(y)\frac{dy}{dx}$$

Nếu sau khi lấy đạo hàm một biểu thức có chứa $y$ mà bạn không thấy hạng tử $dy/dx$, hãy dừng lại và kiểm tra lại bước đó.

Những lỗi thường gặp khi làm đạo hàm ẩn

1. Lấy đạo hàm $y^2$ thành $2y$ thay vì $2y \frac{dy}{dx}$.
2. Quên rằng một hạng tử hỗn hợp như $xy$ cần dùng quy tắc tích.
3. Giải ra $dy/dx$ bằng cách chia cho một biểu thức mà không kiểm tra xem nó có thể bằng $0$ hay không.
4. Cho rằng một công thức đạo hàm đúng trên toàn bộ miền, ngay cả khi hệ thức có nhiều nhánh.

Khi nào dùng đạo hàm ẩn

Đạo hàm ẩn hữu ích nhất khi:

1. Một đường cong được cho bởi một hệ thức như đường tròn, elip hoặc đường mức.
2. Việc giải tường minh theo $y$ sẽ rắc rối hoặc buộc phải tách đường cong thành các trường hợp riêng.
3. Bạn cần tìm hệ số góc của tiếp tuyến tại một điểm.
4. Một bài toán tốc độ liên hệ các biến đang thay đổi trước khi bạn lấy đạo hàm theo thời gian.

Thử một ví dụ khó hơn một chút

Hãy thử

$$x^2 + xy + y^2 = 7$$

Lấy đạo hàm hai vế rồi giải ra $dy/dx$. Đây là một cách kiểm tra tốt vì hạng tử $xy$ cần dùng quy tắc tích, còn $y^2$ vẫn tạo ra thừa số từ quy tắc dây chuyền.

Nếu muốn tiến thêm một bước, hãy tự tạo một ví dụ có hạng tử hỗn hợp rồi so sánh nó với các trường hợp dùng quy tắc tích và quy tắc dây chuyền riêng biệt.