Örtük Türev

Örtük türev, bir denklem $y$’yi yalnız bırakmasa bile $dy/dx$ değerini bulmanızı sağlar. Önce $y$’yi çözmek yerine, denklemin her iki tarafının $x$’e göre türevini alır ve $y$’yi $x$’in bir fonksiyonu olarak ele alırsınız.

Örtük türev ne anlama gelir

Şöyle bir bağıntıyla başlayın:

$$F(x,y) = 0$$

Eğer bu bağıntı, ilgilendiğiniz noktanın yakınında $y$’yi $x$’in türevlenebilir bir fonksiyonu olarak tanımlıyorsa, tüm denklemin $x$’e göre türevini alabilir ve $dy/dx$ için çözebilirsiniz.

Temel fikir basittir:

1. Her terimin $x$’e göre türevini alın.
2. $y$’nin $x$ ile birlikte değiştiğini düşünün.
3. Yeni denklemi $dy/dx$ için çözün.

Öğrencilerin en sık kaçırdığı nokta ikinci adımdır. Örneğin,

$$\frac{d}{dx}(y^2) = 2y \frac{dy}{dx}$$

yalnızca $2y$ değildir.

Neden gerekir

Bazı eğrileri tek bir denklemle ifade etmek kolaydır, ama bunları tek bir $y = f(x)$ formülü olarak yazmak zordur. Bunun klasik örneği çemberdir:

$$x^2 + y^2 = 25$$

Bu denklem çemberin tamamını tek seferde gösterir. $y$ için çözerseniz üst kol ve alt kol olarak ikiye ayrılır, ama örtük türev orijinal bağıntıdan doğrudan eğimi bulmanızı sağlar.

Çözümlü örnek: çemberin eğimi

Şu denklem için $dy/dx$ bulun:

$$x^2 + y^2 = 25$$

Her iki tarafın $x$’e göre türevini alın:

$$\frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(25)$$ $$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$$

Şimdi $dy/dx$ için çözün:

$$2y \frac{dy}{dx} = -2x$$ $$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$$

Bu formül, çember üzerindeki $y \ne 0$ olan noktalarda geçerlidir. Eğer $y = 0$ ise $y$’ye bölmek geçerli değildir ve bu çemberde bu noktalar düşey teğetlere karşılık gelir.

$(3,4)$ noktasında,

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{3}{4}$$

olur; yani teğet doğru burada aşağı doğru eğimlidir.

Zincir kuralı nerede ortaya çıkar

Zincir kuralı, $y$ içeren bir terimin türevini aldığınız her durumda ortaya çıkar; çünkü $y$, $x$’e bağlıdır.

Örneğin,

$$\frac{d}{dx}(y^2) = 2y \frac{dy}{dx}$$

ve

$$\frac{d}{dx}(\sin y) = \cos(y)\frac{dy}{dx}$$

Eğer $y$ içeren bir ifadeyi türevledikten sonra hiç $dy/dx$ terimi görmüyorsanız, durup o adımı yeniden kontrol edin.

Örtük türevde yaygın hatalar

1. $y^2$’nin türevini $2y \frac{dy}{dx}$ yerine $2y$ almak.
2. $xy$ gibi karışık bir terimde çarpım kuralı gerektiğini unutmak.
3. $dy/dx$ için çözerken, bir ifadenin $0$ olup olamayacağını kontrol etmeden o ifadeye bölmek.
4. Bağıntının birden fazla kolu varken tek bir türev formülünün her yerde geçerli olduğunu varsaymak.

Örtük türev ne zaman kullanılır

Örtük türev en çok şu durumlarda kullanışlıdır:

1. Bir eğri çember, elips veya seviye eğrisi gibi bir bağıntıyla verildiğinde.
2. $y$’yi açıkça çözmek karmaşık olduğunda veya eğriyi ayrı durumlara ayırdığında.
3. Bir noktadaki teğet doğrunun eğimine ihtiyaç duyduğunuzda.
4. Zamana göre türev almadan önce değişen nicelikleri ilişkilendiren bağlı oranlar problemlerinde.

Biraz daha zor bir örnek deneyin

Şunu deneyin:

$$x^2 + xy + y^2 = 7$$

Her iki tarafın türevini alın ve $dy/dx$ için çözün. Bu iyi bir kontroldür; çünkü $xy$ terimi çarpım kuralı gerektirirken, $y^2$ yine zincir kuralından bir çarpan üretir.

Bir sonraki adım olarak, karışık terimli kendi örneğinizi kurup sonra bunu çarpım kuralı ve zincir kuralı durumlarıyla ayrı ayrı karşılaştırabilirsiniz.