Dérivation implicite

La dérivation implicite permet de trouver $dy/dx$ même lorsqu’une équation n’isole pas $y$. Au lieu de résoudre d’abord pour $y$, on dérive les deux membres par rapport à $x$ et on traite $y$ comme une fonction de $x$.

Ce que signifie la dérivation implicite

Partons d’une relation comme

$$F(x,y) = 0$$

Si cette relation définit $y$ comme une fonction dérivable de $x$ au voisinage du point qui vous intéresse, alors vous pouvez dériver toute l’équation par rapport à $x$ et résoudre pour $dy/dx$.

L’idée principale est simple :

1. Dériver chaque terme par rapport à $x$.
2. Considérer que $y$ varie avec $x$.
3. Résoudre la nouvelle équation pour $dy/dx$.

C’est la deuxième étape que les étudiants oublient le plus souvent. Par exemple,

$$\frac{d}{dx}(y^2) = 2y \frac{dy}{dx}$$

et pas simplement $2y$.

Pourquoi on en a besoin

Certaines courbes sont faciles à décrire avec une seule équation, mais difficiles à écrire sous la forme d’une unique formule $y = f(x)$. Le cercle est l’exemple classique :

$$x^2 + y^2 = 25$$

Cette équation représente tout le cercle d’un seul coup. Résoudre pour $y$ le séparerait en une branche supérieure et une branche inférieure, mais la dérivation implicite permet de trouver directement la pente à partir de la relation d’origine.

Exemple détaillé : pente d’un cercle

Trouver $dy/dx$ pour

$$x^2 + y^2 = 25$$

Dérivons les deux membres par rapport à $x$ :

$$\frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(25)$$ $$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$$

Résolvons maintenant pour $dy/dx$ :

$$2y \frac{dy}{dx} = -2x$$ $$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$$

Cette formule fonctionne aux points du cercle où $y \ne 0$. Si $y = 0$, alors diviser par $y$ n’est pas valide, et sur ce cercle ces points correspondent à des tangentes verticales.

Au point $(3,4)$,

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{3}{4}$$

donc la tangente y est descendante.

Où apparaît la règle de la chaîne

La règle de la chaîne intervient chaque fois que vous dérivez un terme contenant $y$, parce que $y$ dépend de $x$.

Par exemple,

$$\frac{d}{dx}(y^2) = 2y \frac{dy}{dx}$$

et

$$\frac{d}{dx}(\sin y) = \cos(y)\frac{dy}{dx}$$

Si vous ne voyez aucun terme en $dy/dx$ après avoir dérivé une expression qui contenait $y$, arrêtez-vous et vérifiez à nouveau cette étape.

Erreurs fréquentes en dérivation implicite

1. Dériver $y^2$ en $2y$ au lieu de $2y \frac{dy}{dx}$.
2. Oublier qu’un terme mixte comme $xy$ nécessite la règle du produit.
3. Résoudre pour $dy/dx$ en divisant par une expression sans vérifier si elle peut être nulle.
4. Supposer qu’une seule formule de dérivée fonctionne globalement, même lorsque la relation a plusieurs branches.

Quand utilise-t-on la dérivation implicite ?

La dérivation implicite est particulièrement utile lorsque :

1. Une courbe est donnée par une relation comme un cercle, une ellipse ou une courbe de niveau.
2. Résoudre explicitement pour $y$ serait compliqué ou séparerait la courbe en plusieurs cas.
3. Vous avez besoin de la pente de la tangente en un point.
4. Un problème de taux liés relie des variables qui varient avant que vous ne dériviez par rapport au temps.

Essayez un exemple un peu plus difficile

Essayez

$$x^2 + xy + y^2 = 7$$

Dérivez les deux membres puis résolvez pour $dy/dx$. C’est une bonne vérification, car le terme $xy$ demande la règle du produit, tandis que $y^2$ fait toujours apparaître un facteur de la règle de la chaîne.

Si vous voulez aller plus loin, essayez votre propre version avec un terme mixte, puis comparez-la séparément aux cas de la règle du produit et de la règle de la chaîne.