Diferensiasi Implisit

Diferensiasi implisit memungkinkan Anda mencari $dy/dx$ bahkan ketika suatu persamaan tidak menuliskan $y$ secara terpisah. Alih-alih menyelesaikan untuk $y$ terlebih dahulu, Anda menurunkan kedua sisi terhadap $x$ dan memperlakukan $y$ sebagai fungsi dari $x$.

Apa yang dimaksud dengan diferensiasi implisit

Mulailah dengan relasi seperti

$$F(x,y) = 0$$

Jika relasi itu mendefinisikan $y$ sebagai fungsi terdiferensialkan dari $x$ di sekitar titik yang Anda perhatikan, maka Anda dapat menurunkan seluruh persamaan terhadap $x$ dan menyelesaikannya untuk $dy/dx$.

Gagasan utamanya sederhana:

1. Turunkan setiap suku terhadap $x$.
2. Perlakukan $y$ sebagai besaran yang berubah terhadap $x$.
3. Selesaikan persamaan baru untuk $dy/dx$.

Langkah kedua itulah yang biasanya terlewat oleh siswa. Sebagai contoh,

$$\frac{d}{dx}(y^2) = 2y \frac{dy}{dx}$$

bukan hanya $2y$.

Mengapa Anda membutuhkannya

Beberapa kurva mudah dinyatakan dengan satu persamaan, tetapi sulit ditulis sebagai satu rumus $y = f(x)$. Lingkaran adalah contoh yang paling umum:

$$x^2 + y^2 = 25$$

Persamaan ini merepresentasikan seluruh lingkaran sekaligus. Jika Anda menyelesaikannya untuk $y$, hasilnya akan terpisah menjadi cabang atas dan cabang bawah, tetapi diferensiasi implisit memungkinkan Anda mencari kemiringan secara langsung dari relasi aslinya.

Contoh soal: kemiringan pada lingkaran

Cari $dy/dx$ untuk

$$x^2 + y^2 = 25$$

Turunkan kedua sisi terhadap $x$:

$$\frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(25)$$ $$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$$

Sekarang selesaikan untuk $dy/dx$:

$$2y \frac{dy}{dx} = -2x$$ $$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$$

Rumus ini berlaku pada titik-titik di lingkaran saat $y \ne 0$. Jika $y = 0$, maka membagi dengan $y$ tidak valid, dan pada lingkaran ini titik-titik tersebut bersesuaian dengan garis singgung vertikal.

Pada titik $(3,4)$,

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{3}{4}$$

jadi garis singgungnya menurun di titik itu.

Di mana aturan rantai muncul

Aturan rantai muncul setiap kali Anda menurunkan suku yang memuat $y$, karena $y$ bergantung pada $x$.

Sebagai contoh,

$$\frac{d}{dx}(y^2) = 2y \frac{dy}{dx}$$

dan

$$\frac{d}{dx}(\sin y) = \cos(y)\frac{dy}{dx}$$

Jika Anda tidak melihat suku $dy/dx$ setelah menurunkan suatu ekspresi yang memuat $y$, berhentilah dan periksa kembali langkah itu.

Kesalahan umum dalam diferensiasi implisit

1. Menurunkan $y^2$ menjadi $2y$ alih-alih $2y \frac{dy}{dx}$.
2. Lupa bahwa suku campuran seperti $xy$ memerlukan aturan hasil kali.
3. Menyelesaikan untuk $dy/dx$ dengan membagi oleh suatu ekspresi tanpa memeriksa apakah ekspresi itu bisa bernilai $0$.
4. Menganggap satu rumus turunan berlaku secara global, padahal relasinya memiliki beberapa cabang.

Kapan diferensiasi implisit digunakan

Diferensiasi implisit paling berguna ketika:

1. Suatu kurva diberikan oleh relasi seperti lingkaran, elips, atau kurva level.
2. Menyelesaikan secara eksplisit untuk $y$ akan rumit atau akan memisahkan kurva menjadi beberapa kasus.
3. Anda memerlukan kemiringan garis singgung di suatu titik.
4. Soal laju terkait menghubungkan variabel-variabel yang berubah sebelum Anda menurunkannya terhadap waktu.

Coba contoh yang sedikit lebih sulit

Coba

$$x^2 + xy + y^2 = 7$$

Turunkan kedua sisi dan selesaikan untuk $dy/dx$. Ini adalah latihan yang baik karena suku $xy$ memerlukan aturan hasil kali, sedangkan $y^2$ tetap menghasilkan faktor aturan rantai.

Jika Anda ingin melangkah lebih jauh, coba buat versi Anda sendiri dengan suku campuran lalu bandingkan dengan kasus aturan hasil kali dan aturan rantai secara terpisah.