Phép vi phân — Quy tắc và ví dụ

Phép vi phân nghĩa là tìm đạo hàm. Đạo hàm cho biết hàm số thay đổi nhanh đến mức nào tại một điểm, nên trong giải tích nó được dùng cho các bài toán về hệ số góc và tốc độ thay đổi.

Cách nhanh nhất để chọn đúng quy tắc là nhìn vào cấu trúc của biểu thức trước. Biểu thức đó là một lũy thừa như $x^5$, một tổng như $x^3 + 2x$, một tích như $x^2 e^x$, hay một hàm nằm trong một hàm khác như $(3x+1)^4$? Quy tắc đạo hàm phụ thuộc vào cấu trúc đó.

Nên dùng quy tắc vi phân nào?

Hãy bắt đầu từ dạng ngoài cùng của biểu thức.

• Nếu biểu thức là một lũy thừa đơn của $x$, dùng quy tắc lũy thừa.
• Nếu các hạng tử được cộng hoặc trừ, lấy đạo hàm từng hạng tử.
• Nếu hai biểu thức cùng biến thiên được nhân với nhau, dùng quy tắc tích.
• Nếu một biểu thức biến thiên được chia cho một biểu thức biến thiên khác, dùng quy tắc thương.
• Nếu một hàm nằm bên trong một hàm khác, dùng quy tắc dây chuyền.

Nhiều bài tập cần dùng nhiều hơn một quy tắc. Trong trường hợp đó, hãy chọn quy tắc khớp với cấu trúc bên ngoài trước.

Các quy tắc vi phân chính

Quy tắc hằng số

Nếu $c$ là một hằng số, thì:

$$\frac{d}{dx}(c) = 0$$

Một số cố định không thay đổi khi $x$ thay đổi.

Quy tắc lũy thừa

Nếu $n$ là một số thực, thì:

$$\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$$

Ví dụ: $\frac{d}{dx}(x^4) = 4x^3$.

Quy tắc nhân với hằng số

Nếu $c$ là hằng số và $f$ khả vi, thì:

$$\frac{d}{dx}[cf(x)] = c f'(x)$$

Hằng số được giữ ở phía trước.

Quy tắc tổng và hiệu

Nếu $f$ và $g$ khả vi, thì:

$$\frac{d}{dx}[f(x) \pm g(x)] = f'(x) \pm g'(x)$$

Lấy đạo hàm từng hạng tử riêng biệt, rồi giữ nguyên dấu cộng hoặc trừ tương ứng.

Quy tắc tích

Nếu $f$ và $g$ khả vi, thì:

$$\frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$

Dùng quy tắc này khi cả hai thừa số đều phụ thuộc vào $x$.

Quy tắc thương

Nếu $f$ và $g$ khả vi và $g(x) \ne 0$, thì:

$$\frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$$

Điều kiện $g(x) \ne 0$ rất quan trọng vì phép chia cho 0 là không xác định.

Quy tắc dây chuyền

Nếu $y = f(g(x))$, và cả hai hàm đều khả vi tại những điểm cần thiết, thì:

$$\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

Dùng quy tắc này khi một hàm được lồng bên trong một hàm khác.

Vì sao cấu trúc quan trọng trong phép vi phân

Các quy tắc vi phân là những cách rút gọn cho các dạng biểu thức thường gặp. Nếu biểu thức đơn giản, một quy tắc thường là đủ. Nếu nó được ghép từ nhiều phần, bạn phải kết hợp các quy tắc.

Đó là lý do học sinh thường mắc lỗi ngay cả trước khi bắt đầu lấy đạo hàm. Kỹ năng chính không phải là biến đổi đại số trước. Mà là nhận ra cấu trúc bên ngoài trước khi tính toán bất cứ điều gì.

Ví dụ vi phân: Dùng quy tắc tích và quy tắc dây chuyền cùng lúc

Tìm đạo hàm của:

$$y = x^2(3x+1)^4$$

Cấu trúc bên ngoài là một tích, nên bắt đầu với quy tắc tích. Đặt:

$$f(x) = x^2 \quad \text{and} \quad g(x) = (3x+1)^4$$

Khi đó:

$$y' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$

Lấy đạo hàm của thừa số thứ nhất:

$$f'(x) = 2x$$

Bây giờ lấy đạo hàm của $g(x) = (3x+1)^4$. Ở đây cần dùng quy tắc dây chuyền vì biểu thức bên trong là $3x+1$, không chỉ là $x$:

$$g'(x) = 4(3x+1)^3 \cdot 3 = 12(3x+1)^3$$

Thế cả hai phần vào:

$$y' = 2x(3x+1)^4 + x^2 \cdot 12(3x+1)^3$$

Đây đã là một đạo hàm đúng. Nếu bạn muốn viết dưới dạng phân tích nhân tử:

$$y' = 2x(3x+1)^3[(3x+1) + 6x]$$ $$y' = 2x(3x+1)^3(9x+1)$$

Bước quan trọng không phải là phân tích nhân tử. Mà là nhận ra rằng toàn bộ biểu thức là một tích, trong khi một thừa số cũng cần dùng quy tắc dây chuyền.

Những lỗi thường gặp khi vi phân

1. Dùng quy tắc lũy thừa cho toàn bộ biểu thức trong khi hàm thực ra là một tích hoặc một thương.
2. Quên đạo hàm của hàm bên trong trong quy tắc dây chuyền. Với $(3x+1)^4$, đạo hàm đầy đủ là $4(3x+1)^3 \cdot 3$.
3. Lấy đạo hàm của một tích bằng cách nhân các đạo hàm. Nói chung, $[f(x)g(x)]' \ne f'(x)g'(x)$.
4. Bỏ sót các điều kiện. Quy tắc thương yêu cầu mẫu số phải khác 0.

Khi nào các quy tắc vi phân được dùng?

Các quy tắc vi phân xuất hiện ở mọi nơi mà một đại lượng thay đổi theo một đại lượng khác. Trong giải tích, chúng được dùng cho hệ số góc tiếp tuyến, bài toán tối ưu và phác họa đồ thị.

Trong vật lý, đạo hàm mô tả các đại lượng như vận tốc và gia tốc. Trong kinh tế học hoặc kỹ thuật, chúng được dùng khi bạn cần độ thay đổi cận biên hoặc tốc độ thay đổi.

Thử một bài vi phân tương tự

Lấy đạo hàm của $y = (x^3 + 1)(2x - 5)^2$ và xác định quy tắc nào được áp dụng trước. Nếu đáp án của bạn thiếu hai hạng tử của quy tắc tích hoặc thiếu đạo hàm của hàm bên trong từ $(2x - 5)^2$, hãy quay lại và kiểm tra cấu trúc bên ngoài trước khi rút gọn.