Derivación implícita

La derivación implícita te permite hallar $dy/dx$ incluso cuando una ecuación no despeja a $y$. En lugar de resolver primero para $y$, derivas ambos lados con respecto a $x$ y tratas a $y$ como una función de $x$.

Qué significa la derivación implícita

Empieza con una relación como

$$F(x,y) = 0$$

Si esa relación define a $y$ como una función derivable de $x$ cerca del punto que te interesa, entonces puedes derivar toda la ecuación con respecto a $x$ y despejar $dy/dx$.

La idea principal es simple:

1. Deriva cada término con respecto a $x$.
2. Trata a $y$ como una variable que cambia con $x$.
3. Despeja $dy/dx$ en la nueva ecuación.

Ese segundo paso es el que los estudiantes suelen pasar por alto. Por ejemplo,

$$\frac{d}{dx}(y^2) = 2y \frac{dy}{dx}$$

y no solo $2y$.

Por qué la necesitas

Algunas curvas se describen fácilmente con una sola ecuación, pero resulta incómodo escribirlas como una única fórmula $y = f(x)$. Un círculo es el ejemplo clásico:

$$x^2 + y^2 = 25$$

Esta ecuación representa todo el círculo de una vez. Si despejas $y$, se separa en una rama superior y otra inferior, pero la derivación implícita te permite hallar la pendiente directamente a partir de la relación original.

Ejemplo resuelto: pendiente de un círculo

Halla $dy/dx$ para

$$x^2 + y^2 = 25$$

Deriva ambos lados con respecto a $x$:

$$\frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(25)$$ $$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$$

Ahora despeja $dy/dx$:

$$2y \frac{dy}{dx} = -2x$$ $$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$$

Esta fórmula funciona en los puntos del círculo donde $y \ne 0$. Si $y = 0$, entonces no es válido dividir entre $y$, y en este círculo esos puntos corresponden a tangentes verticales.

En el punto $(3,4)$,

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{3}{4}$$

así que la recta tangente tiene pendiente negativa en ese punto.

Dónde aparece la regla de la cadena

La regla de la cadena aparece siempre que derivas un término que contiene $y$, porque $y$ depende de $x$.

Por ejemplo,

$$\frac{d}{dx}(y^2) = 2y \frac{dy}{dx}$$

y

$$\frac{d}{dx}(\sin y) = \cos(y)\frac{dy}{dx}$$

Si después de derivar una expresión que contenía $y$ no aparece ningún término con $dy/dx$, detente y revisa ese paso otra vez.

Errores comunes en la derivación implícita

1. Derivar $y^2$ como $2y$ en lugar de $2y \frac{dy}{dx}$.
2. Olvidar que un término mixto como $xy$ necesita la regla del producto.
3. Despejar $dy/dx$ dividiendo entre una expresión sin comprobar si podría ser $0$.
4. Suponer que una sola fórmula de la derivada funciona globalmente, incluso cuando la relación tiene varias ramas.

Cuándo se usa la derivación implícita

La derivación implícita es más útil cuando:

1. Una curva está dada por una relación como un círculo, una elipse o una curva de nivel.
2. Despejar explícitamente $y$ sería complicado o separaría la curva en varios casos.
3. Necesitas la pendiente de la recta tangente en un punto.
4. Un problema de razones de cambio relacionadas conecta variables que cambian antes de derivar con respecto al tiempo.

Prueba con un ejemplo un poco más difícil

Intenta con

$$x^2 + xy + y^2 = 7$$

Deriva ambos lados y despeja $dy/dx$. Es una buena comprobación porque el término $xy$ requiere la regla del producto, mientras que $y^2$ sigue produciendo un factor de la regla de la cadena.

Si quieres dar el siguiente paso, prueba tu propia versión con un término mixto y luego compárala por separado con los casos de la regla del producto y la regla de la cadena.