Công thức Đạo hàm và Quy tắc Tính Đạo hàm

Công thức đạo hàm thực chất trả lời cho hai câu hỏi: Các hàm số thường gặp tính đạo hàm như thế nào, và khi gặp tích, thương hoặc hàm hợp thì áp dụng quy tắc nào. Khi làm bài, trình tự hữu ích nhất không phải là khai triển biểu thức trước, mà là nhận diện cấu trúc trước, sau đó mới chọn công thức.

Nếu bạn chỉ muốn nắm bắt cốt lõi, hãy nhớ câu này: Hàm cơ bản thì học thuộc công thức, tổng và hiệu thì tính riêng lẻ, tích dùng quy tắc tích, thương dùng quy tắc thương, và hàm lồng hàm thì dùng quy tắc chuỗi (chain rule).

Bảng tra cứu nhanh các công thức đạo hàm phổ biến

Hãy nhớ các đạo hàm của hàm số cơ bản trước. Chúng là "nguyên liệu" cho tất cả các quy tắc tính đạo hàm sau này.

Hàm số	Công thức đạo hàm	Lưu ý
Hằng số $c$	$(c)' = 0$	Hằng số không thay đổi theo $x$
Hàm lũy thừa $x^n$	$(x^n)' = nx^\{n-1\}$	Áp dụng cho số mũ hằng số $n$
Hàm số mũ $e^x$	$(e^x)' = e^x$	Hình thức không đổi
Hàm logarit $\ln x$	$(\ln x)' = \frac\{1\}\{x\}$	Yêu cầu $x > 0$
Hàm sin $\sin x$	$(\sin x)' = \cos x$	Phổ biến nhất trong các hàm lượng giác
Hàm cos $\cos x$	$(\cos x)' = -\sin x$	Dễ thiếu dấu trừ

5 quy tắc tính đạo hàm thường dùng

Các công thức hàm cơ bản giải quyết việc tính đạo hàm của một hàm đơn lẻ, còn các quy tắc tính đạo hàm giải quyết vấn đề khi cấu trúc hàm trở nên phức tạp hơn.

Cấu trúc	Công thức đạo hàm	Lưu ý quan trọng
Bội số hằng số $c f(x)$	$(c f(x))' = c f'(x)$	Hằng số có thể đưa ra ngoài trực tiếp
Tổng và hiệu $f(x) \pm g(x)$	$(f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x)$	Tính đạo hàm cho từng số hạng
Tích $f(x)g(x)$	$(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$	Không phải là tích của hai đạo hàm riêng lẻ
Thương $\frac\{f(x)\}\{g(x)\}$	$\left(\frac\{f(x)\}\{g(x)\}\right)' = \frac\{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)\}\{[g(x)]^2\}$	Chỉ thảo luận khi $g(x) \ne 0$
Hàm hợp $f(g(x))$	$(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$	Đây chính là quy tắc chuỗi

Cách xác định nhanh nên dùng công thức nào

Hãy nhìn vào lớp ngoài cùng trước. Lớp ngoài của $(3x-1)^4$ là lũy thừa bậc 4, nhưng bên trong còn có $3x-1$, vì vậy không thể chỉ dùng đạo hàm hàm lũy thừa mà phải bổ sung thêm quy tắc chuỗi.

$x^2(3x-1)^4$ thì phức tạp hơn một chút. Lớp ngoài cùng của nó là tích của hai nhân tử, nên bước đầu tiên phải dùng quy tắc tích; khi tách đến $(3x-1)^4$, lúc đó mới dùng quy tắc chuỗi. Chìa khóa của nhiều bài toán đạo hàm không nằm ở tính toán, mà ở việc bạn có nhìn đúng cấu trúc ngay từ cái nhìn đầu tiên hay không.

Ví dụ: Kết hợp quy tắc tích và quy tắc chuỗi

Tính đạo hàm của hàm số:

$f(x) = x^2(3x-1)^4$

Ví dụ này rất điển hình vì nó kiểm tra khả năng quan sát lớp ngoài và tiếp tục tính đạo hàm cho lớp trong.

Nhìn vào lớp ngoài cùng, đây là tích của hai nhân tử, nên trước hết ta dùng quy tắc tích:

$f'(x) = (x^2)'(3x-1)^4 + x^2 \cdot \big((3x-1)^4\big)'$

Số hạng thứ nhất khá đơn giản:

$(x^2)' = 2x$

Ở số hạng thứ hai, $(3x-1)^4$ là hàm hợp, cần dùng quy tắc chuỗi:

$\big((3x-1)^4\big)' = 4(3x-1)^3 \cdot (3x-1)'$

Mà

$(3x-1)' = 3$

Vì vậy

$\big((3x-1)^4\big)' = 12(3x-1)^3$

Thay trở lại biểu thức ban đầu:

$f'(x) = 2x(3x-1)^4 + 12x^2(3x-1)^3$

Nếu muốn viết gọn hơn, bạn có thể tiếp tục đặt nhân tử chung:

$f'(x) = 2x(3x-1)^3(9x-1)$

Điều đáng nhớ nhất ở bài này không phải là đáp số cuối cùng, mà là trình tự: Xem lớp ngoài là tích trước, sau đó xem bên trong nhân tử có phải là hàm hợp hay không. Một khi xác định đúng trình tự, bạn thường sẽ không chọn sai công thức.

Những lỗi thường gặp dễ mất điểm nhất

Áp dụng quy tắc lũy thừa quá nhanh

$(3x-1)^4$ không đơn thuần là $x^4$. Nếu bạn chỉ viết là $4(3x-1)^3$, bạn đã bỏ sót đạo hàm lớp trong $3$.

Quy tắc tích chỉ viết một số hạng

$\big(f(x)g(x)\big)'$ chắc chắn sẽ xuất hiện hai số hạng. Việc chỉ viết thành $f'(x)g'(x)$ hoặc chỉ viết một trong hai số hạng là lỗi điển hình.

Quên điều kiện của quy tắc thương

Quy tắc thương thảo luận về đạo hàm của $\frac{f(x)}{g(x)}$, vì vậy ít nhất phải đảm bảo biểu thức có nghĩa tại điểm đó, tức là $g(x) \ne 0$.

Không phải lúc nào khai triển trước cũng nhanh hơn

Một số biểu thức sau khi khai triển sẽ trở nên dài hơn. Nhiều bài toán đạo hàm thực chất là cuộc thi về khả năng nhận diện cấu trúc, chứ không phải tốc độ khai triển đại số.

Công thức đạo hàm thường được dùng trong loại bài tập nào?

Công dụng trực tiếp nhất của công thức đạo hàm là tìm hệ số góc của tiếp tuyến, nghiên cứu sự đồng biến/nghịch biến của hàm số, tìm giá trị cực đại và cực tiểu. Khi học sâu hơn, bạn sẽ liên tục gặp chúng trong vận tốc, gia tốc, tỷ lệ thay đổi biên, phân tích đường cong và xấp xỉ vi phân.

Nếu đề bài hỏi "điểm này thay đổi nhanh như thế nào", thì cơ bản là bạn đã bước vào phạm vi ứng dụng của đạo hàm.

Cách tự kiểm tra nhanh sau khi làm bài

Sau khi hoàn thành một bài tính đạo hàm, bạn có thể tự kiểm tra bằng ba câu hỏi sau:

1. Quy tắc mình chọn có thực sự phù hợp với cấu trúc lớp ngoài cùng không?
2. Nếu là hàm hợp, trong đáp án đã có đạo hàm lớp trong chưa?
3. Nếu là tích hoặc thương, hình thức kết quả đã được viết đầy đủ chưa?

Bước tiếp theo: Hãy thử tự làm một bài

Hãy thử sức với hai bài sau:

$g(x) = \frac{x^2+1}{x-3}$

và

$h(x) = \sin(2x^2)$

Bài thứ nhất tập trung vào việc bạn có sử dụng đúng quy tắc thương hay không, bài thứ hai tập trung vào việc bạn có giữ lại đạo hàm lớp trong của quy tắc chuỗi hay không. Nếu muốn củng cố thêm, bạn hãy thử một hàm số khác cũng có cấu trúc hợp, xem mình có thể xác định cấu trúc trước khi đặt bút tính hay không.