Derivação Implícita

A derivação implícita permite encontrar $dy/dx$ mesmo quando uma equação não isola $y$. Em vez de resolver para $y$ primeiro, você deriva os dois lados em relação a $x$ e trata $y$ como uma função de $x$.

O que significa derivação implícita

Comece com uma relação como

$$F(x,y) = 0$$

Se essa relação define $y$ como uma função diferenciável de $x$ perto do ponto que interessa, então você pode derivar a equação inteira em relação a $x$ e resolver para $dy/dx$.

A ideia principal é simples:

1. Derivar cada termo em relação a $x$.
2. Tratar $y$ como algo que varia com $x$.
3. Resolver a nova equação para $dy/dx$.

Esse segundo passo é o que os estudantes geralmente esquecem. Por exemplo,

$$\frac{d}{dx}(y^2) = 2y \frac{dy}{dx}$$

e não apenas $2y$.

Por que você precisa dela

Algumas curvas são fáceis de descrever com uma única equação, mas difíceis de escrever como uma única fórmula $y = f(x)$. Um círculo é o exemplo clássico:

$$x^2 + y^2 = 25$$

Essa equação representa o círculo inteiro de uma vez. Resolver para $y$ dividiria a curva em um ramo superior e um ramo inferior, mas a derivação implícita permite encontrar a inclinação diretamente a partir da relação original.

Exemplo resolvido: inclinação de um círculo

Encontre $dy/dx$ para

$$x^2 + y^2 = 25$$

Derive os dois lados em relação a $x$:

$$\frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(25)$$ $$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$$

Agora resolva para $dy/dx$:

$$2y \frac{dy}{dx} = -2x$$ $$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$$

Essa fórmula funciona nos pontos do círculo em que $y \ne 0$. Se $y = 0$, então dividir por $y$ não é válido, e nesse círculo esses pontos correspondem a tangentes verticais.

No ponto $(3,4)$,

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{3}{4}$$

então a reta tangente tem inclinação descendente nesse ponto.

Onde a regra da cadeia aparece

A regra da cadeia entra sempre que você deriva um termo que contém $y$, porque $y$ depende de $x$.

Por exemplo,

$$\frac{d}{dx}(y^2) = 2y \frac{dy}{dx}$$

e

$$\frac{d}{dx}(\sin y) = \cos(y)\frac{dy}{dx}$$

Se você não encontrar nenhum termo com $dy/dx$ depois de derivar uma expressão que continha $y$, pare e confira esse passo novamente.

Erros comuns em derivação implícita

1. Derivar $y^2$ como $2y$ em vez de $2y \frac{dy}{dx}$.
2. Esquecer que um termo misto como $xy$ precisa da regra do produto.
3. Resolver para $dy/dx$ dividindo por uma expressão sem verificar se ela pode ser $0$.
4. Supor que uma única fórmula da derivada vale globalmente, mesmo quando a relação tem vários ramos.

Quando a derivação implícita é usada

A derivação implícita é mais útil quando:

1. Uma curva é dada por uma relação, como um círculo, uma elipse ou uma curva de nível.
2. Resolver explicitamente para $y$ seria trabalhoso ou dividiria a curva em casos separados.
3. Você precisa da inclinação da reta tangente em um ponto.
4. Um problema de taxas relacionadas conecta variáveis que mudam antes de você derivar em relação ao tempo.

Tente um exemplo um pouco mais difícil

Tente

$$x^2 + xy + y^2 = 7$$

Derive os dois lados e resolva para $dy/dx$. Esse é um bom teste porque o termo $xy$ exige a regra do produto, enquanto $y^2$ ainda produz um fator da regra da cadeia.

Se quiser dar o próximo passo, tente criar sua própria versão com um termo misto e depois compare com os casos da regra do produto e da regra da cadeia separadamente.