Vi phân logarit

Vi phân logarit là một cách tìm đạo hàm bằng cách lấy $\ln$ ở cả hai vế trước, rồi sau đó lấy đạo hàm ẩn. Phương pháp này đặc biệt hữu ích khi hàm số có số mũ là biến, như $x^x$, hoặc khi tích và thương quá rắc rối nếu khai triển từng hạng tử.

Nếu bạn đang tìm cách tính đạo hàm của $x^x$, đây là phương pháp chuẩn. Quy tắc lũy thừa thông thường không áp dụng trực tiếp vì số mũ không phải là hằng số.

Vi phân logarit hoạt động như thế nào

Bắt đầu bằng cách viết

$$y = f(x)$$

Sau đó lấy logarit tự nhiên ở cả hai vế:

$$\ln y = \ln(f(x))$$

Lợi ích là các quy tắc logarit biến những cấu trúc khó thành dạng dễ hơn trước khi lấy đạo hàm:

1. $\ln(ab) = \ln a + \ln b$
2. $\ln(a/b) = \ln a - \ln b$
3. $\ln(a^r) = r \ln a$

Quy tắc thứ ba là quan trọng nhất. Nó đưa số mũ xuống thành một thừa số, và dạng đó thường dễ lấy đạo hàm hơn nhiều.

Khi nào nên dùng vi phân logarit

Vi phân logarit đặc biệt hữu ích khi có ít nhất một trong các trường hợp sau:

1. Hàm số là lũy thừa có số mũ là biến, chẳng hạn $x^x$ hoặc $(x^2+1)^x$.
2. Hàm số là một tích hoặc thương dài, khiến việc dùng lặp lại quy tắc tích và quy tắc thương trở nên mất công.
3. Việc lấy logarit làm cho cấu trúc biểu thức dễ nhìn hơn trước khi lấy đạo hàm.

Trong giải tích giá trị thực, miền xác định rất quan trọng. Bước lấy logarit yêu cầu biểu thức bên trong logarit phải dương trên khoảng đang xét. Nhiều ví dụ trong sách giáo khoa được chọn sao cho điều kiện đó đã thỏa mãn.

Ví dụ có lời giải: tính đạo hàm của $y = x^x$

Giả sử $x > 0$. Điều kiện này quan trọng vì $\ln x$ chỉ xác định với $x$ dương trong giải tích giá trị thực.

Bắt đầu với

$$y = x^x$$

Lấy logarit tự nhiên ở cả hai vế:

$$\ln y = \ln(x^x)$$

Bây giờ dùng quy tắc lũy thừa của logarit:

$$\ln y = x \ln x$$

Lấy đạo hàm hai vế theo $x$:

$$\frac{y'}{y} = \frac{d}{dx}(x \ln x)$$

Vế phải cần dùng quy tắc tích:

$$\frac{d}{dx}(x \ln x) = \ln x + 1$$

Vậy

$$\frac{y'}{y} = \ln x + 1$$

Nhân cả hai vế với $y$:

$$y' = y(\ln x + 1)$$

Bây giờ thay $y$ bằng hàm ban đầu:

$$y' = x^x(\ln x + 1)$$

Vậy đạo hàm của $x^x$ với $x > 0$ là

$$\frac{d}{dx}(x^x) = x^x(\ln x + 1)$$

Vì sao phương pháp này hữu ích

Nếu không dùng vi phân logarit, $x^x$ không phù hợp với quy tắc lũy thừa thông thường $d(x^n)/dx = nx^{n-1}$ vì quy tắc đó giả sử $n$ là hằng số.

Sau khi lấy logarit, số mũ trở thành một phần của tích $x \ln x$, và các quy tắc đạo hàm quen thuộc lại áp dụng được. Đó là ý chính cần nhớ: logarit sắp xếp lại biểu thức trước khi bạn lấy đạo hàm.

Những lỗi thường gặp

1. Bỏ qua việc kiểm tra miền xác định. Trong bài toán giá trị thực, $\ln$ cần đầu vào dương.
2. Quên rằng $\frac{d}{dx}(\ln y) = \frac{y'}{y}$, chứ không chỉ là $y'$.
3. Lấy đạo hàm $x \ln x$ sai và bỏ sót quy tắc tích.
4. Dừng ở $\frac{y'}{y} = \ln x + 1$ mà quên nhân với $y$ ở bước cuối.
5. Dùng vi phân logarit trong khi một quy tắc đơn giản hơn có thể cho kết quả nhanh hơn.

Học sinh dùng vi phân logarit ở đâu

Bạn sẽ gặp phương pháp này trong giải tích mỗi khi biểu thức kết hợp lũy thừa, tích và thương theo cách khiến các quy tắc thông thường trở nên rắc rối. Nó rất phổ biến trong các bài toán đạo hàm có số mũ là biến, và cũng giúp đơn giản hóa một số công thức trước khi chuyển sang bài toán tối ưu hoặc tốc độ liên hệ.

Thử một bài vi phân logarit tương tự

Hãy thử phiên bản của riêng bạn với

$$y = (x^2 + 1)^x$$

Đây là một bài tiếp theo tốt vì cơ số luôn dương với mọi $x$ thực, nên bước lấy logarit hợp lệ ở mọi nơi. Nếu bạn có thể biến $\ln y$ thành $x \ln(x^2 + 1)$ và lấy đạo hàm gọn gàng, thì có nghĩa là bạn đã nắm được phương pháp.