隐函数求导

即使方程中没有把 $y$ 单独写出来，隐函数求导也能帮助你求出 $dy/dx$。你不需要先解出 $y$，而是直接对等式两边关于 $x$ 求导，并把 $y$ 看作 $x$ 的函数。

隐函数求导是什么意思

从下面这样的关系式开始：

$$F(x,y) = 0$$

如果这个关系式在你关心的点附近把 $y$ 定义为 $x$ 的可导函数，那么你就可以对整个方程关于 $x$ 求导，再解出 $dy/dx$。

核心思路很简单：

1. 对每一项都关于 $x$ 求导。
2. 把 $y$ 看作随 $x$ 变化。
3. 从新方程中解出 $dy/dx$。

第二步通常最容易被忽略。例如，

$$\frac{d}{dx}(y^2) = 2y \frac{dy}{dx}$$

而不只是 $2y$。

为什么需要它

有些曲线用一个方程来描述很方便，但要写成单个公式 $y = f(x)$ 却很麻烦。圆就是最经典的例子：

$$x^2 + y^2 = 25$$

这个方程一次就表示了整个圆。若解出 $y$，就会分成上半支和下半支；而用隐函数求导，你可以直接从原始关系式求出斜率。

例题：求圆的斜率

求下式的 $dy/dx$：

$$x^2 + y^2 = 25$$

对等式两边关于 $x$ 求导：

$$\frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(25)$$ $$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$$

现在解出 $dy/dx$：

$$2y \frac{dy}{dx} = -2x$$ $$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$$

这个公式在圆上满足 $y \ne 0$ 的点都成立。如果 $y = 0$，那么除以 $y$ 就不合法；在这个圆上，这些点对应的是竖直切线。

在点 $(3,4)$ 处，

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{3}{4}$$

所以该点处的切线向下倾斜。

链式法则出现在哪里

只要你对含有 $y$ 的项求导，链式法则就会出现，因为 $y$ 依赖于 $x$。

例如，

$$\frac{d}{dx}(y^2) = 2y \frac{dy}{dx}$$

以及

$$\frac{d}{dx}(\sin y) = \cos(y)\frac{dy}{dx}$$

如果你对一个含有 $y$ 的表达式求导后，没有看到任何 $dy/dx$ 项，那就应该停下来重新检查这一步。

隐函数求导中的常见错误

1. 把 $y^2$ 的导数写成 $2y$，而不是 $2y \frac{dy}{dx}$。
2. 忘记像 $xy$ 这样的混合项需要使用乘积法则。
3. 解 $dy/dx$ 时直接除以某个表达式，却没有检查它是否可能为 $0$。
4. 认为一个导数公式在整体上都适用，即使这个关系式有多个分支。

隐函数求导在什么时候使用

隐函数求导最适用于以下情况：

1. 曲线由圆、椭圆或等值曲线这样的关系式给出。
2. 显式解出 $y$ 会很繁琐，或者会把曲线拆成几个不同情况。
3. 你需要求某一点处切线的斜率。
4. 在相关变化率问题中，多个变化量先由一个关系式联系起来，然后再对时间求导。

试一个稍难一点的例子

试着做下面这题：

$$x^2 + xy + y^2 = 7$$

对两边求导并解出 $dy/dx$。这是一个很好的练习，因为项 $xy$ 需要用乘积法则，而 $y^2$ 仍然会产生链式法则因子。

如果你想继续练习，可以自己编一个带有混合项的例子，再分别和乘积法则、链式法则的情形进行比较。