음함수 미분

음함수 미분은 방정식에서 $y$가 따로 정리되어 있지 않아도 $dy/dx$를 구할 수 있게 해줍니다. 먼저 $y$를 풀어 쓰는 대신, 양변을 $x$에 대해 미분하고 $y$를 $x$의 함수로 취급합니다.

음함수 미분의 의미

다음과 같은 관계식에서 시작해 봅시다.

$$F(x,y) = 0$$

이 관계식이 관심 있는 점 근처에서 $y$를 $x$의 미분 가능한 함수로 정의한다면, 방정식 전체를 $x$에 대해 미분한 뒤 $dy/dx$를 구할 수 있습니다.

핵심 아이디어는 간단합니다.

1. 모든 항을 $x$에 대해 미분합니다.
2. $y$가 $x$에 따라 변한다고 봅니다.
3. 새로 얻은 방정식을 $dy/dx$에 대해 풉니다.

학생들이 가장 자주 놓치는 부분은 두 번째 단계입니다. 예를 들어,

$$\frac{d}{dx}(y^2) = 2y \frac{dy}{dx}$$

이지, 단순히 $2y$가 아닙니다.

왜 필요한가요?

어떤 곡선은 하나의 방정식으로 표현하기는 쉽지만, $y = f(x)$ 꼴의 하나의 식으로 쓰기는 불편합니다. 대표적인 예가 원입니다.

$$x^2 + y^2 = 25$$

이 방정식은 원 전체를 한 번에 나타냅니다. $y$에 대해 풀면 위쪽 반원과 아래쪽 반원으로 나뉘지만, 음함수 미분을 쓰면 원래의 관계식에서 바로 기울기를 구할 수 있습니다.

예제: 원의 기울기

다음 식에서 $dy/dx$를 구해 봅시다.

$$x^2 + y^2 = 25$$

양변을 $x$에 대해 미분하면,

$$\frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(25)$$ $$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$$

이제 $dy/dx$를 구하면,

$$2y \frac{dy}{dx} = -2x$$ $$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$$

이 식은 원 위의 점들 중 $y \ne 0$인 곳에서 성립합니다. 만약 $y = 0$이면 $y$로 나누는 것은 허용되지 않으며, 이 원에서는 그런 점들이 수직 접선에 해당합니다.

점 $(3,4)$에서는

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{3}{4}$$

이므로 그 점에서 접선은 오른쪽으로 갈수록 내려갑니다.

연쇄법칙은 어디서 나오나요?

$y$가 들어 있는 항을 미분할 때마다 연쇄법칙이 등장합니다. 왜냐하면 $y$는 $x$에 의존하기 때문입니다.

예를 들어,

$$\frac{d}{dx}(y^2) = 2y \frac{dy}{dx}$$

그리고

$$\frac{d}{dx}(\sin y) = \cos(y)\frac{dy}{dx}$$

입니다.

$y$가 들어 있는 식을 미분했는데 결과에 $dy/dx$ 항이 보이지 않는다면, 그 단계를 다시 확인해 보세요.

음함수 미분에서 흔한 실수

1. $y^2$를 $2y \frac{dy}{dx}$가 아니라 $2y$로 미분하는 것
2. $xy$ 같은 혼합항에 곱의 미분법이 필요하다는 점을 잊는 것
3. 어떤 식이 $0$이 될 수 있는지 확인하지 않고 그 식으로 나누어 $dy/dx$를 구하는 것
4. 관계식에 여러 갈래가 있는데도 하나의 도함수 공식이 전체에서 항상 성립한다고 가정하는 것

음함수 미분은 언제 쓰이나요?

음함수 미분은 다음과 같은 경우에 특히 유용합니다.

1. 곡선이 원, 타원, 등위곡선 같은 관계식으로 주어질 때
2. $y$를 명시적으로 풀면 식이 복잡해지거나 곡선이 여러 경우로 나뉠 때
3. 한 점에서 접선의 기울기가 필요할 때
4. 관련률 문제에서 시간에 대해 미분하기 전에 서로 변하는 변수들이 관계식으로 연결되어 있을 때

조금 더 어려운 예제를 해보세요

다음 식을 해보세요.

$$x^2 + xy + y^2 = 7$$

양변을 미분한 뒤 $dy/dx$를 구해 보세요. 이 예제는 $xy$ 항에는 곱의 미분법이 필요하고, $y^2$에서는 여전히 연쇄법칙 인자가 나온다는 점을 확인하기에 좋습니다.

다음 단계로는 혼합항이 들어간 식을 직접 하나 만들어 보고, 그 결과를 곱의 미분법과 연쇄법칙이 각각 적용되는 경우와 따로 비교해 보세요.