Różniczkowanie uwikłane

Różniczkowanie uwikłane pozwala wyznaczyć $dy/dx$, nawet gdy równanie nie wyznacza $y$ wprost. Zamiast najpierw rozwiązywać równanie względem $y$, różniczkujesz obie strony względem $x$ i traktujesz $y$ jako funkcję zmiennej $x$.

Co oznacza różniczkowanie uwikłane

Zacznij od zależności takiej jak

$$F(x,y) = 0$$

Jeśli ta zależność określa $y$ jako różniczkowalną funkcję zmiennej $x$ w pobliżu interesującego Cię punktu, to możesz zróżniczkować całe równanie względem $x$ i rozwiązać je względem $dy/dx$.

Główna idea jest prosta:

1. Zróżniczkuj każdy wyraz względem $x$.
2. Traktuj $y$ jako wielkość zmieniającą się wraz z $x$.
3. Rozwiąż nowe równanie względem $dy/dx$.

To właśnie drugi krok uczniowie najczęściej pomijają. Na przykład

$$\frac{d}{dx}(y^2) = 2y \frac{dy}{dx}$$

a nie tylko $2y$.

Dlaczego jest potrzebne

Niektóre krzywe łatwo opisać jednym równaniem, ale trudno zapisać je w postaci jednego wzoru $y = f(x)$. Standardowym przykładem jest okrąg:

$$x^2 + y^2 = 25$$

To równanie opisuje cały okrąg naraz. Rozwiązanie względem $y$ rozdzieliłoby je na górną i dolną gałąź, ale różniczkowanie uwikłane pozwala wyznaczyć nachylenie bezpośrednio z pierwotnej zależności.

Przykład rozwiązany: nachylenie stycznej do okręgu

Wyznacz $dy/dx$ dla

$$x^2 + y^2 = 25$$

Zróżniczkuj obie strony względem $x$:

$$\frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(25)$$ $$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$$

Teraz rozwiąż względem $dy/dx$:

$$2y \frac{dy}{dx} = -2x$$ $$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$$

Ten wzór działa w punktach okręgu, w których $y \ne 0$. Jeśli $y = 0$, to dzielenie przez $y$ nie jest poprawne, a na tym okręgu punkty te odpowiadają stycznym pionowym.

W punkcie $(3,4)$

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{3}{4}$$

więc styczna ma tam ujemne nachylenie.

Gdzie pojawia się reguła łańcuchowa

Reguła łańcuchowa pojawia się zawsze wtedy, gdy różniczkujesz wyraz zawierający $y$, ponieważ $y$ zależy od $x$.

Na przykład

$$\frac{d}{dx}(y^2) = 2y \frac{dy}{dx}$$

oraz

$$\frac{d}{dx}(\sin y) = \cos(y)\frac{dy}{dx}$$

Jeśli po zróżniczkowaniu wyrażenia zawierającego $y$ nie widzisz żadnego wyrazu z $dy/dx$, zatrzymaj się i jeszcze raz sprawdź ten krok.

Typowe błędy w różniczkowaniu uwikłanym

1. Różniczkowanie $y^2$ jako $2y$ zamiast $2y \frac{dy}{dx}$.
2. Zapominanie, że wyraz mieszany, taki jak $xy$, wymaga użycia reguły iloczynu.
3. Rozwiązywanie względem $dy/dx$ przez dzielenie przez jakieś wyrażenie bez sprawdzenia, czy może ono być równe $0$.
4. Zakładanie, że jeden wzór na pochodną działa globalnie, nawet gdy zależność ma wiele gałęzi.

Kiedy stosuje się różniczkowanie uwikłane

Różniczkowanie uwikłane jest najbardziej przydatne, gdy:

1. Krzywa jest dana zależnością, taką jak okrąg, elipsa lub krzywa poziomicy.
2. Jawne rozwiązanie względem $y$ byłoby skomplikowane albo rozdzielałoby krzywą na osobne przypadki.
3. Potrzebujesz nachylenia stycznej w danym punkcie.
4. Zadanie z szybkościami związanymi łączy zmienne zmieniające się w czasie, zanim zróżniczkujesz względem czasu.

Spróbuj nieco trudniejszego przykładu

Spróbuj dla

$$x^2 + xy + y^2 = 7$$

Zróżniczkuj obie strony i rozwiąż względem $dy/dx$. To dobry test, ponieważ wyraz $xy$ wymaga reguły iloczynu, a $y^2$ nadal daje czynnik z reguły łańcuchowej.

Jeśli chcesz pójść krok dalej, ułóż własny przykład z wyrazem mieszanym, a potem porównaj go osobno z przypadkami użycia reguły iloczynu i reguły łańcuchowej.