การหาอนุพันธ์โดยปริยาย

การหาอนุพันธ์โดยปริยายช่วยให้คุณหาค่า $dy/dx$ ได้ แม้ว่าสมการจะไม่ได้แยก $y$ ออกมาอย่างชัดเจน แทนที่จะแก้สมการหา $y$ ก่อน คุณหาอนุพันธ์ทั้งสองข้างเทียบกับ $x$ และถือว่า $y$ เป็นฟังก์ชันของ $x$

การหาอนุพันธ์โดยปริยายหมายถึงอะไร

เริ่มจากความสัมพันธ์ เช่น

$$F(x,y) = 0$$

ถ้าความสัมพันธ์นี้กำหนดให้ $y$ เป็นฟังก์ชันของ $x$ ที่หาอนุพันธ์ได้ในบริเวณใกล้จุดที่คุณสนใจ คุณก็สามารถหาอนุพันธ์ของสมการทั้งหมดเทียบกับ $x$ แล้วแก้หา $dy/dx$ ได้

แนวคิดหลักนั้นง่ายมาก:

1. หาอนุพันธ์ของทุกพจน์เทียบกับ $x$
2. ถือว่า $y$ เปลี่ยนแปลงตาม $x$
3. แก้สมการใหม่เพื่อหา $dy/dx$

ขั้นตอนที่สองนี่เองที่นักเรียนมักพลาด ตัวอย่างเช่น

$$\frac{d}{dx}(y^2) = 2y \frac{dy}{dx}$$

ไม่ใช่แค่ $2y$

ทำไมจึงต้องใช้

เส้นโค้งบางเส้นอธิบายได้ง่ายด้วยสมการเดียว แต่เขียนให้อยู่ในรูปสูตรเดียว $y = f(x)$ ได้ไม่สะดวก วงกลมเป็นตัวอย่างมาตรฐาน:

$$x^2 + y^2 = 25$$

สมการนี้แทนวงกลมทั้งวงพร้อมกัน ถ้าแก้หา $y$ จะต้องแยกเป็นส่วนโค้งด้านบนและด้านล่าง แต่การหาอนุพันธ์โดยปริยายช่วยให้คุณหาความชันได้โดยตรงจากความสัมพันธ์เดิม

ตัวอย่างทำครบ: ความชันของวงกลม

จงหา $dy/dx$ สำหรับ

$$x^2 + y^2 = 25$$

หาอนุพันธ์ทั้งสองข้างเทียบกับ $x$:

$$\frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(25)$$ $$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$$

ตอนนี้แก้หา $dy/dx$:

$$2y \frac{dy}{dx} = -2x$$ $$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$$

สูตรนี้ใช้ได้ที่จุดบนวงกลมซึ่งมี $y \ne 0$ ถ้า $y = 0$ การหารด้วย $y$ จะทำไม่ได้ และบนวงกลมนี้จุดดังกล่าวสอดคล้องกับเส้นสัมผัสแนวดิ่ง

ที่จุด $(3,4)$

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{3}{4}$$

ดังนั้นเส้นสัมผัสที่จุดนั้นจึงมีความชันลดลง

กฎลูกโซ่ปรากฏตรงไหน

กฎลูกโซ่จะเข้ามาเกี่ยวข้องทุกครั้งที่คุณหาอนุพันธ์ของพจน์ที่มี $y$ เพราะ $y$ ขึ้นอยู่กับ $x$

ตัวอย่างเช่น

$$\frac{d}{dx}(y^2) = 2y \frac{dy}{dx}$$

และ

$$\frac{d}{dx}(\sin y) = \cos(y)\frac{dy}{dx}$$

ถ้าคุณหาอนุพันธ์ของนิพจน์ที่มี $y$ แล้วไม่เห็นพจน์ $dy/dx$ ปรากฏอยู่ ให้หยุดและตรวจขั้นตอนนั้นอีกครั้ง

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในการหาอนุพันธ์โดยปริยาย

1. หาอนุพันธ์ของ $y^2$ เป็น $2y$ แทนที่จะเป็น $2y \frac{dy}{dx}$
2. ลืมว่าพจน์ผสมอย่าง $xy$ ต้องใช้กฎผลคูณ
3. แก้หา $dy/dx$ โดยการหารด้วยนิพจน์บางอย่างโดยไม่ตรวจว่ามันอาจเป็น $0$ หรือไม่
4. คิดว่าสูตรอนุพันธ์เดียวใช้ได้กับทุกจุด ทั้งที่ความสัมพันธ์อาจมีหลายแขนง

การหาอนุพันธ์โดยปริยายใช้เมื่อใด

การหาอนุพันธ์โดยปริยายมีประโยชน์มากที่สุดเมื่อ:

1. เส้นโค้งถูกกำหนดด้วยความสัมพันธ์ เช่น วงกลม วงรี หรือเส้นระดับ
2. การแก้สมการหา $y$ โดยตรงจะยุ่งยาก หรือทำให้ต้องแยกเส้นโค้งเป็นหลายกรณี
3. คุณต้องการหาความชันของเส้นสัมผัสที่จุดหนึ่ง
4. โจทย์อัตราสัมพันธ์เชื่อมโยงตัวแปรที่เปลี่ยนแปลงร่วมกันก่อนที่คุณจะหาอนุพันธ์เทียบกับเวลา

ลองตัวอย่างที่ยากขึ้นอีกนิด

ลองพิจารณา

$$x^2 + xy + y^2 = 7$$

หาอนุพันธ์ทั้งสองข้างแล้วแก้หา $dy/dx$ นี่เป็นแบบฝึกที่ดี เพราะพจน์ $xy$ ต้องใช้กฎผลคูณ ขณะที่ $y^2$ ยังคงให้ตัวประกอบจากกฎลูกโซ่

ถ้าคุณอยากลองต่อ ให้สร้างโจทย์ของตัวเองที่มีพจน์ผสม แล้วเปรียบเทียบกับกรณีของกฎผลคูณและกฎลูกโซ่แยกกัน