Quy tắc dây chuyền

Quy tắc dây chuyền là quy tắc đạo hàm cho một hàm nằm bên trong một hàm khác. Nếu một đại lượng phụ thuộc vào một bước trung gian, và bước trung gian đó lại phụ thuộc vào $x$, thì tốc độ thay đổi tổng thể được tạo ra bằng cách nhân hai mức thay đổi đó với nhau.

Quy Tắc Dây Chuyền Phát Biểu Gì

Nếu $y = f(g(x))$, và $g$ khả vi tại $x$ còn $f$ khả vi tại $g(x)$, thì:

$$\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

Nói đơn giản: lấy đạo hàm của hàm bên ngoài, giữ nguyên biểu thức bên trong, rồi nhân với đạo hàm của biểu thức bên trong.

Trực Giác

Một hàm hợp thay đổi theo hai lớp. Trước hết, một thay đổi nhỏ của $x$ làm thay đổi biểu thức bên trong $g(x)$. Sau đó, sự thay đổi của $g(x)$ lại làm thay đổi giá trị bên ngoài $f(g(x))$.

Quy tắc dây chuyền nối hai lớp đó lại với nhau. Nó nói rằng mức thay đổi tổng thể bằng mức thay đổi từ bên ngoài nhân với mức thay đổi từ bên trong.

Ví Dụ Có Lời Giải

Tìm đạo hàm của:

$$y = (3x^2 + 1)^5$$

Ở đây hàm bên trong là:

$$u = 3x^2 + 1$$

và hàm bên ngoài là:

$$y = u^5$$

Trước tiên lấy đạo hàm của hàm bên ngoài:

$$\frac{dy}{du} = 5u^4$$

Bây giờ lấy đạo hàm của hàm bên trong:

$$\frac{du}{dx} = 6x$$

Nhân chúng lại:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 5u^4 \cdot 6x$$

Thay lại $u = 3x^2 + 1$:

$$\frac{dy}{dx} = 30x(3x^2 + 1)^4$$

Thừa số cuối cùng đó, $6x$, là phần mà mọi người thường quên nhất.

Những Lỗi Thường Gặp

1. Lấy đạo hàm của hàm bên ngoài rồi dừng lại quá sớm. Với $(3x^2 + 1)^5$, $5(3x^2 + 1)^4$ chưa phải là đạo hàm đầy đủ.
2. Xác định sai hàm bên ngoài. Trong $\sin(x^2)$, hàm bên ngoài là $\sin(\cdot)$, không phải phép bình phương.
3. Dùng quy tắc dây chuyền khi không có hàm hợp. Với $x^3 + 1$, bạn không cần thêm một đạo hàm bên trong nào cả.

Khi Nào Bạn Dùng Nó

Quy tắc dây chuyền xuất hiện bất cứ khi nào các hàm được lồng vào nhau. Những ví dụ phổ biến gồm:

1. Lũy thừa của biểu thức như $(x^2 + 4x - 1)^7$
2. Hàm lượng giác của biểu thức như $\sin(5x)$ hoặc $\cos(x^3)$
3. Hàm mũ và log như $e^{x^2}$ hoặc $\ln(1 + x^4)$
4. Đạo hàm ẩn, nơi nhiều bước quy tắc dây chuyền thường xuất hiện cùng lúc

Một Cách Kiểm Tra Nhanh

Sau khi lấy đạo hàm của một hàm hợp, hãy tự hỏi một câu: đạo hàm của biểu thức bên trong có xuất hiện ở đâu đó trong đáp án không?

Nếu không, rất có thể bước dùng quy tắc dây chuyền của bạn vẫn chưa hoàn chỉnh.

Tự Thử Một Phiên Bản Của Riêng Bạn

Lấy $y = (2x - 3)^4$ và đặt tên cho hàm bên trong trước khi bạn lấy đạo hàm. Nếu đáp án cuối cùng của bạn không chứa đạo hàm của $2x - 3$, hãy làm lại bước cuối và kiểm tra xem nó đã biến mất ở đâu.