Tốc độ liên hệ

Trong giải tích, tốc độ liên hệ là cách tìm tốc độ thay đổi của một đại lượng bằng cách dùng mối quan hệ của nó với một đại lượng khác mà bạn đã biết tốc độ thay đổi. Ý tưởng cốt lõi rất đơn giản: viết phương trình nối các biến, lấy đạo hàm theo thời gian, rồi tính tại đúng thời điểm được hỏi trong bài.

Nếu $y$ phụ thuộc vào $x$ và $x$ phụ thuộc vào $t$, thì với giả sử các hàm này khả vi,

$$\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt}$$

Quy tắc dây chuyền đó chính là động cơ của bài toán tốc độ liên hệ. Điểm khác là bài toán thường bắt đầu từ một tình huống hình học hoặc vật lý, chứ không phải từ một hàm số đã cho sẵn.

Tốc độ liên hệ có nghĩa là gì

Các tốc độ được gọi là liên hệ vì các biến có liên hệ với nhau. Nếu bán kính của một hình tròn thay đổi thì diện tích của nó cũng thay đổi. Nếu độ dài cạnh của một khối lập phương thay đổi thì thể tích của nó cũng thay đổi. Phương trình nối các đại lượng sẽ cho biết tốc độ này ảnh hưởng đến tốc độ kia như thế nào tại cùng một thời điểm.

Mẫu giải chung là:

1. Xác định các biến.
2. Viết phương trình liên hệ chúng.
3. Lấy đạo hàm theo thời gian $t$.
4. Thay các giá trị tại thời điểm cần xét.
5. Giải ra tốc độ chưa biết.

Vì sao phải lấy đạo hàm trước rồi mới thay số

Trong một bài toán tốc độ liên hệ, các biến là những hàm thay đổi theo thời gian ngay cả khi phương trình không viết tường minh theo $t$. Vì vậy

$$\frac{d}{dt}(r^2) = 2r\frac{dr}{dt},$$

chứ không chỉ là $2r$.

Nếu bạn thay số quá sớm, bạn có thể làm mất một biến đang thay đổi trước khi đạo hàm của nó xuất hiện. Trong những trường hợp đơn giản, bạn vẫn có thể tình cờ ra đúng đáp án, nhưng cách làm đó không đáng tin cậy.

Ví dụ có lời giải: diện tích của một hình tròn đang lớn dần

Giả sử bán kính của một hình tròn đang tăng với tốc độ

$$\frac{dr}{dt} = 3 \text{ cm/s}.$$

Diện tích tăng nhanh bao nhiêu khi $r = 5$ cm?

Bắt đầu với công thức diện tích:

$$A = \pi r^2$$

Lấy đạo hàm hai vế theo thời gian:

$$\frac{dA}{dt} = \pi \frac{d}{dt}(r^2)$$ $$\frac{dA}{dt} = 2\pi r \frac{dr}{dt}$$

Bây giờ thay thời điểm đã cho, $r = 5$ và $\frac{dr}{dt} = 3$:

$$\frac{dA}{dt} = 2\pi(5)(3) = 30\pi$$

Vậy diện tích đang tăng với tốc độ

$$30\pi \text{ cm}^2/\text{s}.$$

Đơn vị rất quan trọng. Bán kính được đo bằng xentimét, nên diện tích thay đổi theo xentimét vuông trên giây.

Vì sao ví dụ này đúng

Công thức ban đầu liên hệ $A$ và $r$, chứ không phải $A$ và $t$. Thời gian chỉ xuất hiện khi ta lấy đạo hàm. Đó chính là cốt lõi của tốc độ liên hệ: xem mỗi đại lượng đang thay đổi như một hàm của thời gian, ngay cả khi phương trình ban đầu trông hoàn toàn là hình học.

Đây cũng là lý do tốc độ liên hệ thường dùng đạo hàm ẩn. Bạn đang lấy đạo hàm của một phương trình có nhiều biến liên kết với nhau, và mỗi biến đang thay đổi có thể tạo ra hạng tử tốc độ riêng của nó.

Những lỗi thường gặp trong tốc độ liên hệ

1. Thay giá trị trước khi lấy đạo hàm.
2. Quên rằng một biến như $r$ hoặc $y$ phụ thuộc vào thời gian.
3. Dùng sai thời điểm. Bài toán hỏi một thời điểm cụ thể, không phải một mức thay đổi trung bình tổng quát.
4. Bỏ qua đơn vị hoặc dấu. Một đại lượng đang giảm thường sẽ cho tốc độ âm.
5. Viết công thức không khớp với mô hình hình học hoặc tình huống vật lý.

Khi nào dùng bài toán tốc độ liên hệ

Tốc độ liên hệ xuất hiện bất cứ khi nào hai đại lượng đang thay đổi vẫn gắn với nhau bởi một quy luật.

Các trường hợp thường gặp gồm:

1. Hình học, như hình tròn, hình cầu, hình nón và bài toán thang.
2. Vật lý, nơi vị trí, vận tốc và các đại lượng khác cùng thay đổi.
3. Các bài toán kỹ thuật hoặc hóa học, trong đó một đại lượng đo được phụ thuộc vào một đại lượng khác đang thay đổi theo thời gian.

Phương pháp này chỉ đúng khi mối quan hệ bạn viết ra còn phù hợp với tình huống. Nếu mô hình thay đổi thì phương trình tốc độ cũng có thể thay đổi theo.

Danh sách kiểm tra nhanh cho tốc độ liên hệ

Hãy tự hỏi ba điều:

1. Mình đã viết mối quan hệ trước khi lấy đạo hàm chưa?
2. Mỗi biến đang thay đổi có tạo ra một hạng tử tốc độ khi mình lấy đạo hàm theo $t$ không?
3. Đơn vị cuối cùng có hợp lý không?

Kiểm tra ngắn này giúp phát hiện một phần lớn các lỗi trong bài toán tốc độ liên hệ.

Tự thử một phiên bản của riêng bạn

Hãy lấy lại ví dụ hình tròn ở trên, nhưng đổi tốc độ thành $\frac{dr}{dt} = 1.5$ cm/s và tính tại thời điểm $r = 8$ cm. Sau đó, thử một phiên bản với thể tích hình cầu và để ý xem việc đổi từ $r^2$ sang $r^3$ làm công thức tốc độ cuối cùng thay đổi như thế nào. Nếu muốn đi tiếp, hãy thử phiên bản của riêng bạn trong một công cụ giải toán chỉ sau khi bạn đã tự viết mối quan hệ và tự lấy đạo hàm.