Implizite Differentiation

Mit der impliziten Differentiation kannst du $dy/dx$ finden, auch wenn eine Gleichung $y$ nicht isoliert. Statt zuerst nach $y$ aufzulösen, leitest du beide Seiten nach $x$ ab und behandelst $y$ als Funktion von $x$.

Was implizite Differentiation bedeutet

Beginne mit einer Beziehung wie

$$F(x,y) = 0$$

Wenn diese Beziehung $y$ in der Umgebung des betrachteten Punkts als differenzierbare Funktion von $x$ definiert, kannst du die ganze Gleichung nach $x$ ableiten und nach $dy/dx$ auflösen.

Die Grundidee ist einfach:

1. Leite jeden Term nach $x$ ab.
2. Behandle $y$ als Größe, die sich mit $x$ ändert.
3. Löse die neue Gleichung nach $dy/dx$ auf.

Diesen zweiten Schritt übersehen Schüler und Schülerinnen meistens. Zum Beispiel gilt

$$\frac{d}{dx}(y^2) = 2y \frac{dy}{dx}$$

und nicht einfach nur $2y$.

Warum du sie brauchst

Manche Kurven lassen sich mit einer einzigen Gleichung leicht beschreiben, aber nur umständlich als einzelne Formel $y = f(x)$ schreiben. Ein Kreis ist das Standardbeispiel:

$$x^2 + y^2 = 25$$

Diese Gleichung beschreibt den ganzen Kreis auf einmal. Wenn du nach $y$ auflöst, zerfällt er in einen oberen und einen unteren Ast, aber mit impliziter Differentiation kannst du die Steigung direkt aus der ursprünglichen Beziehung bestimmen.

Durchgerechnetes Beispiel: Steigung eines Kreises

Bestimme $dy/dx$ für

$$x^2 + y^2 = 25$$

Leite beide Seiten nach $x$ ab:

$$\frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(25)$$ $$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$$

Löse nun nach $dy/dx$ auf:

$$2y \frac{dy}{dx} = -2x$$ $$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$$

Diese Formel gilt an Punkten auf dem Kreis, an denen $y \ne 0$. Falls $y = 0$, ist das Teilen durch $y$ nicht zulässig, und auf diesem Kreis entsprechen diese Punkte vertikalen Tangenten.

Am Punkt $(3,4)$ gilt

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{3}{4}$$

also fällt die Tangente dort nach rechts ab.

Wo die Kettenregel auftaucht

Die Kettenregel kommt immer dann ins Spiel, wenn du einen Term mit $y$ ableitest, weil $y$ von $x$ abhängt.

Zum Beispiel gilt

$$\frac{d}{dx}(y^2) = 2y \frac{dy}{dx}$$

und

$$\frac{d}{dx}(\sin y) = \cos(y)\frac{dy}{dx}$$

Wenn nach dem Ableiten eines Ausdrucks mit $y$ kein $dy/dx$-Term auftaucht, halte an und prüfe diesen Schritt noch einmal.

Häufige Fehler bei der impliziten Differentiation

1. $y^2$ als $2y$ statt als $2y \frac{dy}{dx}$ abzuleiten.
2. Zu vergessen, dass ein gemischter Term wie $xy$ die Produktregel braucht.
3. Beim Auflösen nach $dy/dx$ durch einen Ausdruck zu teilen, ohne zu prüfen, ob er $0$ sein kann.
4. Anzunehmen, dass eine Ableitungsformel überall gilt, obwohl die Beziehung mehrere Äste hat.

Wann implizite Differentiation verwendet wird

Implizite Differentiation ist besonders nützlich, wenn:

1. Eine Kurve durch eine Beziehung wie einen Kreis, eine Ellipse oder eine Niveaukurve gegeben ist.
2. Das explizite Auflösen nach $y$ unübersichtlich wäre oder die Kurve in getrennte Fälle zerlegen würde.
3. Du die Steigung einer Tangente an einem Punkt brauchst.
4. Eine Related-Rates-Aufgabe veränderliche Größen verknüpft, bevor du nach der Zeit ableitest.

Probiere ein etwas schwierigeres Beispiel

Versuche

$$x^2 + xy + y^2 = 7$$

Leite beide Seiten ab und löse nach $dy/dx$ auf. Das ist ein guter Test, weil der Term $xy$ die Produktregel erfordert, während $y^2$ weiterhin einen Faktor aus der Kettenregel liefert.

Wenn du einen nächsten Schritt willst, probiere deine eigene Variante mit einem gemischten Term aus und vergleiche sie dann getrennt mit den Fällen zur Produktregel und Kettenregel.