Derivazione implicita

La derivazione implicita ti permette di trovare $dy/dx$ anche quando un’equazione non isola $y$. Invece di risolvere prima rispetto a $y$, derivi entrambi i membri rispetto a $x$ e tratti $y$ come una funzione di $x$.

Che cosa significa derivazione implicita

Parti da una relazione come

$$F(x,y) = 0$$

Se quella relazione definisce $y$ come una funzione derivabile di $x$ vicino al punto che ti interessa, allora puoi derivare l’intera equazione rispetto a $x$ e risolvere per $dy/dx$.

L’idea principale è semplice:

1. Deriva ogni termine rispetto a $x$.
2. Tratta $y$ come una quantità che varia con $x$.
3. Risolvi la nuova equazione per $dy/dx$.

Il secondo passaggio è quello che gli studenti di solito trascurano. Per esempio,

$$\frac{d}{dx}(y^2) = 2y \frac{dy}{dx}$$

e non semplicemente $2y$.

Perché serve

Alcune curve sono facili da descrivere con un’unica equazione, ma scomode da scrivere come una sola formula $y = f(x)$. Un cerchio è l’esempio classico:

$$x^2 + y^2 = 25$$

Questa equazione rappresenta tutto il cerchio in una volta sola. Risolvere rispetto a $y$ lo dividerebbe in un ramo superiore e uno inferiore, ma la derivazione implicita ti permette di trovare direttamente la pendenza dalla relazione originale.

Esempio svolto: pendenza di un cerchio

Trova $dy/dx$ per

$$x^2 + y^2 = 25$$

Deriva entrambi i membri rispetto a $x$:

$$\frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(25)$$ $$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$$

Ora risolvi per $dy/dx$:

$$2y \frac{dy}{dx} = -2x$$ $$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$$

Questa formula vale nei punti del cerchio in cui $y \ne 0$. Se $y = 0$, allora dividere per $y$ non è valido e, su questo cerchio, quei punti corrispondono a tangenti verticali.

Nel punto $(3,4)$,

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{3}{4}$$

quindi lì la retta tangente ha pendenza negativa.

Dove compare la regola della catena

La regola della catena entra in gioco ogni volta che derivi un termine che contiene $y$, perché $y$ dipende da $x$.

Per esempio,

$$\frac{d}{dx}(y^2) = 2y \frac{dy}{dx}$$

e

$$\frac{d}{dx}(\sin y) = \cos(y)\frac{dy}{dx}$$

Se dopo aver derivato un’espressione che conteneva $y$ non compare alcun termine $dy/dx$, fermati e ricontrolla quel passaggio.

Errori comuni nella derivazione implicita

1. Derivare $y^2$ come $2y$ invece di $2y \frac{dy}{dx}$.
2. Dimenticare che un termine misto come $xy$ richiede la regola del prodotto.
3. Risolvere per $dy/dx$ dividendo per un’espressione senza controllare se potrebbe essere $0$.
4. Supporre che una formula della derivata valga globalmente, anche quando la relazione ha più rami.

Quando si usa la derivazione implicita

La derivazione implicita è particolarmente utile quando:

1. Una curva è data da una relazione come un cerchio, un’ellisse o una curva di livello.
2. Risolvere esplicitamente rispetto a $y$ sarebbe complicato oppure dividerebbe la curva in casi separati.
3. Ti serve la pendenza della retta tangente in un punto.
4. Un problema di tassi correlati collega variabili che cambiano prima di derivare rispetto al tempo.

Prova un esempio un po’ più difficile

Prova con

$$x^2 + xy + y^2 = 7$$

Deriva entrambi i membri e risolvi per $dy/dx$. È un buon controllo perché il termine $xy$ richiede la regola del prodotto, mentre $y^2$ produce ancora un fattore dovuto alla regola della catena.

Se vuoi fare un passo in più, prova una tua versione con un termine misto e poi confrontala separatamente con i casi della regola del prodotto e della regola della catena.