Παραγώγιση πεπλεγμένης συνάρτησης

Η παραγώγιση πεπλεγμένης συνάρτησης σου επιτρέπει να βρεις το $dy/dx$ ακόμη κι όταν μια εξίσωση δεν απομονώνει το $y$. Αντί να λύσεις πρώτα ως προς $y$, παραγώγιζεις και τα δύο μέλη ως προς $x$ και θεωρείς ότι το $y$ είναι συνάρτηση του $x$.

Τι σημαίνει η παραγώγιση πεπλεγμένης συνάρτησης

Ξεκίνα με μια σχέση όπως

$$F(x,y) = 0$$

Αν αυτή η σχέση ορίζει το $y$ ως παραγωγίσιμη συνάρτηση του $x$ κοντά στο σημείο που σε ενδιαφέρει, τότε μπορείς να παραγώγισεις ολόκληρη την εξίσωση ως προς $x$ και να λύσεις ως προς $dy/dx$.

Η βασική ιδέα είναι απλή:

1. Παραγώγισε κάθε όρο ως προς $x$.
2. Θεώρησε ότι το $y$ μεταβάλλεται μαζί με το $x$.
3. Λύσε τη νέα εξίσωση ως προς $dy/dx$.

Αυτό το δεύτερο βήμα είναι εκείνο που οι μαθητές συνήθως παραλείπουν. Για παράδειγμα,

$$\frac{d}{dx}(y^2) = 2y \frac{dy}{dx}$$

και όχι απλώς $2y$.

Γιατί τη χρειάζεσαι

Μερικές καμπύλες περιγράφονται εύκολα με μία εξίσωση, αλλά είναι δύσκολο να γραφτούν ως ένας μόνο τύπος $y = f(x)$. Ο κύκλος είναι το κλασικό παράδειγμα:

$$x^2 + y^2 = 25$$

Αυτή η εξίσωση παριστάνει ολόκληρο τον κύκλο ταυτόχρονα. Αν έλυνες ως προς $y$, θα τον χώριζες σε άνω και κάτω ημικύκλιο, αλλά η παραγώγιση πεπλεγμένης συνάρτησης σου επιτρέπει να βρεις απευθείας την κλίση από την αρχική σχέση.

Λυμένο παράδειγμα: κλίση κύκλου

Βρες το $dy/dx$ για

$$x^2 + y^2 = 25$$

Παραγώγισε και τα δύο μέλη ως προς $x$:

$$\frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(25)$$ $$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$$

Τώρα λύσε ως προς $dy/dx$:

$$2y \frac{dy}{dx} = -2x$$ $$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$$

Αυτός ο τύπος ισχύει στα σημεία του κύκλου όπου $y \ne 0$. Αν $y = 0$, τότε η διαίρεση με το $y$ δεν επιτρέπεται, και σε αυτόν τον κύκλο αυτά τα σημεία αντιστοιχούν σε κατακόρυφες εφαπτομένες.

Στο σημείο $(3,4)$,

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{3}{4}$$

οπότε εκεί η εφαπτομένη έχει αρνητική κλίση.

Πού εμφανίζεται ο κανόνας αλυσίδας

Ο κανόνας αλυσίδας εμφανίζεται κάθε φορά που παραγώγιζεις έναν όρο που περιέχει $y$, επειδή το $y$ εξαρτάται από το $x$.

Για παράδειγμα,

$$\frac{d}{dx}(y^2) = 2y \frac{dy}{dx}$$

και

$$\frac{d}{dx}(\sin y) = \cos(y)\frac{dy}{dx}$$

Αν μετά την παραγώγιση μιας παράστασης που περιείχε $y$ δεν βλέπεις κανέναν όρο $dy/dx$, σταμάτα και έλεγξε ξανά αυτό το βήμα.

Συνηθισμένα λάθη στην παραγώγιση πεπλεγμένης συνάρτησης

1. Να παραγώγιζεις το $y^2$ ως $2y$ αντί για $2y \frac{dy}{dx}$.
2. Να ξεχνάς ότι ένας μικτός όρος όπως το $xy$ χρειάζεται τον κανόνα γινομένου.
3. Να λύνεις ως προς $dy/dx$ διαιρώντας με μια παράσταση χωρίς να ελέγχεις αν μπορεί να είναι $0$.
4. Να υποθέτεις ότι ένας τύπος παραγώγου ισχύει παντού, ακόμη κι όταν η σχέση έχει πολλούς κλάδους.

Πότε χρησιμοποιείται η παραγώγιση πεπλεγμένης συνάρτησης

Η παραγώγιση πεπλεγμένης συνάρτησης είναι πιο χρήσιμη όταν:

1. Μια καμπύλη δίνεται από μια σχέση όπως κύκλος, έλλειψη ή ισοσταθμική καμπύλη.
2. Η ρητή λύση ως προς $y$ θα ήταν δύσκολη ή θα χώριζε την καμπύλη σε ξεχωριστές περιπτώσεις.
3. Χρειάζεσαι την κλίση της εφαπτομένης σε ένα σημείο.
4. Ένα πρόβλημα σχετικών ρυθμών συνδέει μεταβαλλόμενες ποσότητες πριν παραγώγισεις ως προς τον χρόνο.

Δοκίμασε ένα λίγο πιο δύσκολο παράδειγμα

Δοκίμασε

$$x^2 + xy + y^2 = 7$$

Παραγώγισε και τα δύο μέλη και λύσε ως προς $dy/dx$. Είναι ένας καλός έλεγχος, γιατί ο όρος $xy$ απαιτεί τον κανόνα γινομένου, ενώ το $y^2$ εξακολουθεί να δίνει έναν παράγοντα από τον κανόνα αλυσίδας.

Αν θέλεις ένα επόμενο βήμα, δοκίμασε τη δική σου εκδοχή με έναν μικτό όρο και μετά σύγκρινέ τη ξεχωριστά με τις περιπτώσεις του κανόνα γινομένου και του κανόνα αλυσίδας.