Çokgenin İç Açıları — Formül ve Toplam

Basit, $n$ kenarlı bir çokgenin iç açıları toplamı

$$(n-2) \times 180^\circ.$$

Çokgen düzgünse her bir iç açı

$$\frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}.$$

Bu, çoğu okuyucunun yaptığı iki aramayı yanıtlar: herhangi bir basit çokgen için toplam iç açı ölçüsü ve yalnızca çokgen düzgün olduğunda bir iç açının ölçüsü.

İç açılar, çokgenin içindeki açılardır

İç açı, bir çokgende iki kenarın birleştiği noktada içeride oluşan açıdır.

Bir üçgende üç iç açının toplamı $180^\circ$ olur. Bir dörtgende bu toplam $360^\circ$ olur. Çokgen formülü de aynı örüntüyü genelleştirir.

Çokgenin iç açıları toplamı neden $(n-2) \times 180^\circ$ olur?

Formülü görmenin basit bir yolu, bir köşeden köşegenler çizerek çokgeni üçgenlere ayırmaktır.

$n$ kenarlı bir çokgen bu şekilde $n-2$ üçgene ayrılabilir ve her üçgenin açıları toplamı $180^\circ$ olur. Bu yüzden toplam iç açı ölçüsü

$$(n-2) \times 180^\circ.$$

Bu gerekçe basit çokgenler için geçerlidir. Buna, kenarlar kesişmediği sürece hem dışbükey hem de içbükey çokgenler dahildir.

Çözümlü örnek: altıgenin iç açıları

Bir altıgenin iç açıları toplamını bulun.

Altıgenin $n=6$ kenarı vardır, dolayısıyla

$$(6-2) \times 180^\circ = 4 \times 180^\circ = 720^\circ.$$

Buna göre herhangi bir basit altıgenin iç açıları toplamı $720^\circ$ olur.

Altıgen düzgünse altı açının hepsi eşittir, bu yüzden her biri

$$\frac{720^\circ}{6} = 120^\circ.$$

Buradaki temel ayrım şudur:

• Her basit altıgenin iç açıları toplamı $720^\circ$ olur.
• Yalnızca düzgün altıgende her iç açı $120^\circ$ olur.

Çokgenin iç açılarıyla ilgili yaygın hatalar

Düzgün olmayan bir çokgende $n$'ye bölmek

Şu formül

$$\frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}$$

yalnızca çokgen düzgünse bir iç açıyı verir. Düzgün olmayan bir beşgenin toplam açı ölçüsü yine $540^\circ$ olur, ancak tek tek açıları eşit olmak zorunda değildir.

Çokgenin basit olup olmadığını kontrol etmeden formülü kullanmak

Standart toplam formülü basit çokgenler içindir. Kenarlar kesişiyorsa açı ilişkileri farklı olur; bu yüzden formülü otomatik olarak uygulamamalısınız.

İç açılarla dış açıları karıştırmak

İç açılar çokgenin içindedir. Dış açılar ise dışında oluşur. Bunlar birbiriyle ilişkili kavramlardır, ancak aynı büyüklük değildir.

İç açı formülü ne zaman kullanılır?

İç açı formülleri geometri derslerinde, çizim ve tasarım problemlerinde ve kenar sayısından çokgenin şekli hakkında akıl yürütmeniz gereken her durumda karşınıza çıkar.

Ayrıca genel bir çokgenden düzgün çokgene geçtiğinizde de önemlidir; çünkü toplam açı ölçüsünün tek bir tekrar eden açıya dönüştüğü durum budur.

Benzer bir çokgen açı problemi deneyin

$n=8$ olan bir sekizgen deneyin.

Önce $(n-2) \times 180^\circ$ ile iç açıları toplamını bulun. Sonra, yalnızca sekizgenin düzgün olduğunu varsayarsanız, bir iç açıyı bulmak için $8$'e bölün. Bir sonraki adımı görmek isterseniz başka bir çokgen örneğini inceleyin ve düzgün çokgen koşulunu doğru anda kullanıp kullanmadığınızı kontrol edin.