Các góc trong của đa giác — Công thức & Tổng

Tổng các góc trong của một đa giác đơn $n$ cạnh là

$$(n-2) \times 180^\circ.$$

Nếu đa giác là đa giác đều, mỗi góc trong là

$$\frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}.$$

Điều này trả lời hai câu hỏi mà hầu hết người đọc thường tìm kiếm: tổng các góc trong của mọi đa giác đơn, và giá trị của một góc trong chỉ khi đa giác là đa giác đều.

Góc trong là các góc nằm bên trong đa giác

Góc trong là góc được tạo thành bên trong một đa giác tại nơi hai cạnh gặp nhau.

Với tam giác, tổng ba góc trong là $180^\circ$. Với tứ giác, tổng đó là $360^\circ$. Công thức cho đa giác mở rộng đúng theo quy luật quen thuộc này.

Vì sao tổng các góc trong của đa giác là $(n-2) \times 180^\circ$

Một cách đơn giản để thấy công thức này là chia đa giác thành các tam giác bằng cách vẽ các đường chéo từ một đỉnh.

Một đa giác $n$ cạnh có thể được chia thành $n-2$ tam giác theo cách đó, và mỗi tam giác có tổng các góc là $180^\circ$. Vì vậy tổng các góc trong là

$$(n-2) \times 180^\circ.$$

Lập luận này đúng với các đa giác đơn. Điều đó bao gồm cả đa giác lồi và đa giác lõm, miễn là các cạnh không cắt nhau.

Ví dụ có lời giải: các góc trong của lục giác

Tìm tổng các góc trong của một lục giác.

Lục giác có $n=6$ cạnh, nên

$$(6-2) \times 180^\circ = 4 \times 180^\circ = 720^\circ.$$

Vậy tổng các góc trong của mọi lục giác đơn là $720^\circ$.

Nếu lục giác là đa giác đều, thì cả sáu góc đều bằng nhau, nên mỗi góc là

$$\frac{720^\circ}{6} = 120^\circ.$$

Đây là điểm khác biệt quan trọng:

• Mọi lục giác đơn đều có tổng các góc trong bằng $720^\circ$.
• Chỉ lục giác đều mới có mỗi góc trong bằng $120^\circ$.

Những lỗi thường gặp với góc trong của đa giác

Chia cho $n$ với một đa giác không đều

Công thức

$$\frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}$$

chỉ cho ra một góc trong khi đa giác là đa giác đều. Một ngũ giác không đều vẫn có tổng các góc là $540^\circ$, nhưng các góc riêng lẻ của nó không nhất thiết phải bằng nhau.

Dùng công thức mà không kiểm tra đa giác có phải là đa giác đơn hay không

Công thức tổng chuẩn áp dụng cho đa giác đơn. Nếu các cạnh cắt nhau, quan hệ giữa các góc sẽ khác, nên bạn không nên tự động áp dụng công thức này.

Nhầm lẫn giữa góc trong và góc ngoài

Góc trong nằm bên trong đa giác. Góc ngoài được tạo thành ở bên ngoài đa giác. Hai khái niệm này có liên quan, nhưng không phải là cùng một đại lượng.

Khi nào công thức góc trong được sử dụng

Các công thức về góc trong xuất hiện trong các lớp hình học, các bài toán vẽ và thiết kế, và mọi tình huống mà bạn cần suy luận về hình dạng của đa giác từ số cạnh.

Chúng cũng quan trọng khi bạn chuyển từ một đa giác bất kỳ sang đa giác đều, vì đó là lúc tổng các góc trở thành một góc lặp lại duy nhất.

Thử một bài toán góc đa giác tương tự

Hãy thử với một bát giác có $n=8$.

Trước tiên, tìm tổng các góc trong bằng $(n-2) \times 180^\circ$. Sau đó, chỉ khi giả sử bát giác là đa giác đều, hãy chia cho $8$ để tìm một góc trong. Nếu muốn làm tiếp, hãy xét một trường hợp đa giác khác và kiểm tra xem bạn đã dùng điều kiện đa giác đều đúng thời điểm chưa.