多边形内角——公式与内角和

一个简单的 $n$ 边形，其内角和为

$$(n-2) \times 180^\circ.$$

如果这个多边形是正多边形，那么每个内角为

$$\frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}.$$

这回答了大多数读者最常搜索的两个问题：任意简单多边形的内角总和，以及只有在正多边形中才成立的单个内角大小。

内角是多边形内部的角

内角是指多边形内部，两条边相交形成的角。

三角形的三个内角和是 $180^\circ$。四边形的内角和是 $360^\circ$。多边形的公式就是把这个规律推广到了更一般的情况。

为什么多边形内角和是 $(n-2) \times 180^\circ$

理解这个公式的一个简单方法，是从一个顶点出发画对角线，把多边形分成若干个三角形。

一个 $n$ 边形可以这样分成 $n-2$ 个三角形，而每个三角形的内角和都是 $180^\circ$。所以总内角和就是

$$(n-2) \times 180^\circ.$$

这个推理适用于简单多边形。这既包括凸多边形，也包括凹多边形，只要边不相交即可。

例题：六边形的内角

求一个六边形的内角和。

六边形有 $n=6$ 条边，所以

$$(6-2) \times 180^\circ = 4 \times 180^\circ = 720^\circ.$$

因此，任意简单六边形的内角和都是 $720^\circ$。

如果这个六边形是正六边形，那么六个内角都相等，所以每个内角为

$$\frac{720^\circ}{6} = 120^\circ.$$

这里的关键区别是：

• 任意简单六边形的内角和都是 $720^\circ$。
• 只有正六边形的每个内角才都等于 $120^\circ$。

多边形内角常见错误

对非正多边形也直接除以 $n$

公式

$$\frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}$$

只有在多边形是正多边形时，才表示一个内角的大小。一个不规则五边形的内角和仍然是 $540^\circ$，但它的各个内角不一定相等。

没有先判断多边形是否简单就套用公式

标准的内角和公式适用于简单多边形。如果边发生相交，角之间的关系就不同了，因此不能直接套用这个公式。

混淆内角和外角

内角在多边形内部。外角是在外部形成的角。它们彼此相关，但并不是同一个量。

内角公式在什么时候会用到

内角公式常见于几何课程、绘图与设计问题，以及任何需要根据边数来分析多边形形状的情境。

当你从一般多边形过渡到正多边形时，这个公式也很重要，因为这时总内角和才能进一步转化为一个重复出现的单个角。

试试类似的多边形角度问题

试着做一个八边形，其中 $n=8$。

先用 $(n-2) \times 180^\circ$ 求内角和。然后，只有在你假设这个八边形是正八边形时，才能再除以 $8$ 求出一个内角。如果你想继续练习，可以再看另一个多边形的例子，并检查自己是否在正确的时机使用了“正多边形”这个条件。