Angles intérieurs d’un polygone — formule et somme

Les angles intérieurs d’un polygone simple à $n$ côtés ont pour somme

$$(n-2) \times 180^\circ.$$

Si le polygone est régulier, chaque angle intérieur vaut

$$\frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}.$$

Cela répond aux deux recherches les plus fréquentes : la somme totale des angles intérieurs pour tout polygone simple, et la mesure d’un seul angle intérieur uniquement lorsque le polygone est régulier.

Les angles intérieurs sont les angles à l’intérieur du polygone

Un angle intérieur est l’angle formé à l’intérieur d’un polygone à l’endroit où deux côtés se rencontrent.

Pour un triangle, la somme des trois angles intérieurs est $180^\circ$. Pour un quadrilatère, elle est $360^\circ$. La formule des polygones prolonge ce même schéma.

Pourquoi la somme des angles intérieurs d’un polygone est $(n-2) \times 180^\circ$

Une façon simple de comprendre la formule consiste à découper le polygone en triangles en traçant des diagonales à partir d’un sommet.

Un polygone à $n$ côtés peut ainsi être divisé en $n-2$ triangles, et chaque triangle a une somme d’angles égale à $180^\circ$. Donc la somme totale des angles intérieurs est

$$(n-2) \times 180^\circ.$$

Cet argument fonctionne pour les polygones simples. Cela inclut les polygones convexes comme les polygones concaves, tant que les côtés ne se croisent pas.

Exemple résolu : angles intérieurs d’un hexagone

Calculons la somme des angles intérieurs d’un hexagone.

Un hexagone a $n=6$ côtés, donc

$$(6-2) \times 180^\circ = 4 \times 180^\circ = 720^\circ.$$

Ainsi, les angles intérieurs de tout hexagone simple ont pour somme $720^\circ$.

Si l’hexagone est régulier, alors ses six angles sont égaux, donc chacun vaut

$$\frac{720^\circ}{6} = 120^\circ.$$

Voici la distinction essentielle :

• Tout hexagone simple a une somme d’angles intérieurs de $720^\circ$.
• Seul un hexagone régulier a tous ses angles intérieurs égaux à $120^\circ$.

Erreurs fréquentes avec les angles intérieurs des polygones

Diviser par $n$ pour un polygone non régulier

La formule

$$\frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}$$

donne la mesure d’un angle intérieur seulement lorsque le polygone est régulier. Un pentagone irrégulier a bien une somme totale des angles de $540^\circ$, mais ses angles individuels ne sont pas forcément égaux.

Utiliser la formule sans vérifier que le polygone est simple

La formule standard de la somme s’applique aux polygones simples. Si les côtés se croisent, les relations entre les angles sont différentes, donc il ne faut pas appliquer la formule automatiquement.

Confondre angles intérieurs et angles extérieurs

Les angles intérieurs sont à l’intérieur du polygone. Les angles extérieurs sont formés à l’extérieur. Ce sont des notions liées, mais ce n’est pas la même grandeur.

Quand utilise-t-on la formule des angles intérieurs ?

Les formules sur les angles intérieurs apparaissent en cours de géométrie, dans des problèmes de dessin et de conception, et dans toute situation où l’on doit raisonner sur la forme d’un polygone à partir de son nombre de côtés.

Elles sont aussi importantes lorsqu’on passe d’un polygone quelconque à un polygone régulier, car c’est à ce moment-là qu’une somme totale d’angles devient un angle unique répété.

Essayez un problème similaire sur les angles d’un polygone

Essayez avec un octogone où $n=8$.

Commencez par calculer la somme des angles intérieurs avec $(n-2) \times 180^\circ$. Ensuite, seulement si vous supposez que l’octogone est régulier, divisez par $8$ pour trouver un angle intérieur. Si vous voulez aller plus loin, étudiez un autre cas de polygone et vérifiez si vous avez utilisé la condition de polygone régulier au bon moment.