多角形の内角 — 公式と内角の和

辺の数が $n$ の単純多角形の内角の和は

$$(n-2) \times 180^\circ.$$

です。

多角形が正多角形なら、1つの内角は

$$\frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}.$$

です。

これで、多くの人が知りたい2つの内容に答えられます。つまり、任意の単純多角形の内角の和と、正多角形の場合に限った1つの内角です。

内角とは多角形の内側にある角のこと

内角とは、多角形の2つの辺が交わるところでできる、内側の角のことです。

三角形では、3つの内角の和は $180^\circ$ です。四角形では、その和は $360^\circ$ です。多角形の公式は、この同じパターンをさらに一般化したものです。

多角形の内角の和が $(n-2) \times 180^\circ$ になる理由

この公式を理解する簡単な方法は、1つの頂点から対角線を引いて、多角形を三角形に分けることです。

辺が $n$ 本ある多角形は、この方法で $n-2$ 個の三角形に分けられます。そして、各三角形の内角の和は $180^\circ$ です。したがって、内角の和の合計は

$$(n-2) \times 180^\circ.$$

となります。

この考え方は単純多角形で成り立ちます。つまり、辺が交差しない限り、凸多角形にも凹多角形にも使えます。

例題：六角形の内角

六角形の内角の和を求めます。

六角形は辺の数が $n=6$ なので、

$$(6-2) \times 180^\circ = 4 \times 180^\circ = 720^\circ.$$

となります。

したがって、任意の単純な六角形の内角の和は $720^\circ$ です。

六角形が正六角形なら、6つの角はすべて等しいので、1つの内角は

$$\frac{720^\circ}{6} = 120^\circ.$$

です。

ここで大切な違いは次のとおりです。

• 任意の単純な六角形では、内角の和は $720^\circ$ です。
• すべての内角が $120^\circ$ になるのは、正六角形の場合だけです。

多角形の内角でよくある間違い

正多角形でないのに $n$ で割る

公式

$$\frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}$$

で1つの内角が求められるのは、その多角形が正多角形のときだけです。たとえば不規則な五角形でも内角の和は $540^\circ$ ですが、1つ1つの角が等しいとは限りません。

単純多角形かどうかを確かめずに公式を使う

標準的な内角の和の公式は、単純多角形に対するものです。辺が交差している場合は角の関係が異なるので、機械的にこの公式を使ってはいけません。

内角と外角を混同する

内角は多角形の内側にある角です。外角はその外側にできる角です。関係のある概念ではありますが、同じ量ではありません。

内角の公式が使われる場面

内角の公式は、幾何の授業、作図やデザインの問題、そして辺の数から多角形の形を考えるあらゆる場面で使われます。

また、一般の多角形から正多角形へ話を進めるときにも重要です。なぜなら、そのとき初めて角の総和が同じ大きさの1つの角へと変わるからです。

似た多角形の角の問題に挑戦してみよう

今度は八角形で $n=8$ として考えてみましょう。

まず $(n-2) \times 180^\circ$ を使って内角の和を求めます。そのあと、八角形が正多角形だと仮定する場合に限って、$8$ で割って1つの内角を求めます。さらに進めたいなら、別の多角形でも試して、正多角形という条件を正しいタイミングで使えたか確認してみましょう。