Üçgen Çeşitleri — Eşkenar, İkizkenar, Çeşitkenar ve Daha Fazlası

Üçgenlerin temel türleri ya kenar uzunluklarına ya da açı ölçülerine göre belirlenir. Kenarlarına göre bir üçgen eşkenar, ikizkenar veya çeşitkenar olabilir. Açılarına göre ise dar açılı, dik açılı veya geniş açılı olabilir.

Bir üçgen genellikle her gruptan bir etiket alır. Örneğin bir üçgen hem ikizkenar hem geniş açılı, ya da hem çeşitkenar hem dik açılı olabilir. "Üçgen çeşitleri" diye arama yapan öğrencilerin anlaması gereken temel fikir budur.

Kenar uzunluklarına göre üçgen çeşitleri

Eşkenar üçgen

Eşkenar üçgenin üç kenarı da eşittir. Öklid geometrisinde bu, üç açısının da eşit olduğu anlamına gelir; yani her bir açı $60^\circ$ olur.

Üç açının da tamamı $90^\circ$'den küçük olduğu için her eşkenar üçgen aynı zamanda dar açılıdır.

İkizkenar üçgen

İkizkenar üçgenin en az iki kenarı eşittir. Bu eşit kenarların karşısındaki açılar da birbirine eşittir.

İkizkenar bir üçgenin dar açılı olması gerekmez. Açılarına bağlı olarak dar açılı, dik açılı veya geniş açılı olabilir.

Çeşitkenar üçgen

Çeşitkenar üçgenin üç kenar uzunluğu da farklıdır. Öklid geometrisinde üç açısı da birbirinden farklı olur.

İkizkenar üçgende olduğu gibi, çeşitkenar bir üçgen de dar açılı, dik açılı veya geniş açılı olabilir.

Açı ölçülerine göre üçgen çeşitleri

Dar açılı üçgen

Dar açılı üçgenin üç açısı da $90^\circ$'den küçüktür.

Dik açılı üçgen

Dik açılı üçgenin bir açısı tam olarak $90^\circ$'dir.

Geniş açılı üçgen

Geniş açılı üçgenin bir açısı $90^\circ$'den büyüktür. Üçgenin iç açıları toplamı $180^\circ$ olduğu için yalnızca bir geniş açı olabilir.

Kenar uzunluklarından bir üçgen nasıl sınıflandırılır?

Yalnızca üç kenar uzunluğunu biliyorsanız, önce bunların gerçekten bir üçgen oluşturup oluşturmadığını kontrol edin. Üçgen eşitsizliğine göre herhangi iki kenarın toplamı üçüncü kenardan büyük olmalıdır.

Bundan sonra en uzun kenarı bulun ve ona $c$ deyin. Diğer iki kenar için $c^2$ ile $a^2 + b^2$ değerlerini karşılaştırın.

$$\text{If } c^2 = a^2 + b^2, \text{ the triangle is right.}$$ $$\text{If } c^2 < a^2 + b^2, \text{ the triangle is acute.}$$ $$\text{If } c^2 > a^2 + b^2, \text{ the triangle is obtuse.}$$

Bu karşılaştırma yalnızca kenar uzunlukları üçgen eşitsizliğini sağladıktan sonra geçerlidir.

Çözümlü örnek: $5$, $5$ ve $8$'i sınıflandırın

Bir üçgenin kenar uzunluklarının $5$, $5$ ve $8$ olduğunu düşünelim.

Önce geçerli olup olmadığını kontrol edelim:

$$5 + 5 > 8$$

Demek ki bu uzunluklar gerçekten bir üçgen oluşturur. Şimdi kenarlara göre sınıflandıralım. İki kenar eşit olduğundan üçgen ikizkenardır.

Şimdi açılara göre sınıflandıralım. En uzun kenar $8$ olduğuna göre şunu karşılaştırın:

$$8^2 = 64$$

ve

$$5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50$$

$64 > 50$ olduğuna göre üçgen geniş açılıdır.

Dolayısıyla tam sınıflandırma ikizkenar geniş açılı üçgen olur.

Bu örnek, iki sistemin neden ayrı tutulması gerektiğini gösterir. "İkizkenar" kenarları tanımlar. "Geniş açılı" ise açıları tanımlar.

Üçgen türlerini adlandırırken yapılan yaygın hatalar

1. Eşkenar, ikizkenar ve çeşitkenarı; dar açılı, dik açılı ve geniş açılı ile aynı tür etiketlermiş gibi düşünmek.
2. Eşkenar üçgenin aynı zamanda ikizkenar sayılıp sayılmamasının kullanılan kabule bağlı olduğunu unutmak. Birçok okul ortamında eşkenar, sınıflandırmada ayrı bir tür olarak verilir.
3. Üç uzunluğun gerçekten bir üçgen oluşturup oluşturmadığını kontrol etmeden üçgene çeşitkenar demek.
4. İkizkenarın her zaman dar açılı olduğunu sanmak. Böyle değildir.
5. En uzun kenarı önce belirlemeden Pisagor karşılaştırmasını kenar uzunluklarına uygulamak.

Bu üçgen sınıflandırmaları ne zaman işe yarar?

Üçgen türleri geometri, trigonometri ve birçok şekil probleminde karşınıza çıkar. Sınıflandırma çoğu zaman hangi bilgi ya da kısa yolun daha kullanışlı olduğunu gösterir.

Örneğin dik açılı bir üçgen, Pisagor teoremini doğrudan kullanmanıza izin verir. İkizkenar bir üçgen, eşit açılardan gelen simetri sağlar. Çeşitkenar bir üçgen ise genellikle daha genel araçlar gerektirir; çünkü eşit kenarlardan gelen bir kısa yol yoktur.

Benzer bir soru deneyin

$6$, $8$ ve $10$ kenar uzunluklarını sınıflandırmayı deneyin. Önce kenar türünü belirleyin, sonra kareler karşılaştırmasını kullanarak açı türünü bulun. Ardından en uzun kenarı $11$ yapın ve sınıflandırmanın hangi kısmının değiştiğine bakın.