Angoli interni di un poligono — formula e somma

Gli angoli interni di un poligono semplice con $n$ lati hanno somma

$$(n-2) \times 180^\circ.$$

Se il poligono è regolare, ogni angolo interno misura

$$\frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}.$$

Questo risponde alle due ricerche più comuni: la somma totale degli angoli interni per qualsiasi poligono semplice e la misura di un singolo angolo interno solo quando il poligono è regolare.

Gli angoli interni sono gli angoli all’interno del poligono

Un angolo interno è l’angolo formato all’interno di un poligono nel punto in cui si incontrano due lati.

In un triangolo, i tre angoli interni sommano $180^\circ$. In un quadrilatero, sommano $360^\circ$. La formula per i poligoni estende lo stesso schema.

Perché la somma degli angoli interni di un poligono è $(n-2) \times 180^\circ$

Un modo semplice per capire la formula è dividere il poligono in triangoli tracciando diagonali da un vertice.

Un poligono con $n$ lati può essere diviso in questo modo in $n-2$ triangoli, e ogni triangolo ha somma degli angoli pari a $180^\circ$. Quindi la somma totale degli angoli interni è

$$(n-2) \times 180^\circ.$$

Questo ragionamento vale per i poligoni semplici. Include sia i poligoni convessi sia quelli concavi, purché i lati non si incrocino.

Esempio svolto: angoli interni di un esagono

Trova la somma degli angoli interni di un esagono.

Un esagono ha $n=6$ lati, quindi

$$(6-2) \times 180^\circ = 4 \times 180^\circ = 720^\circ.$$

Quindi gli angoli interni di qualsiasi esagono semplice sommano $720^\circ$.

Se l’esagono è regolare, allora tutti e sei gli angoli sono uguali, quindi ciascuno misura

$$\frac{720^\circ}{6} = 120^\circ.$$

Questa è la distinzione fondamentale:

• Qualsiasi esagono semplice ha somma degli angoli interni pari a $720^\circ$.
• Solo un esagono regolare ha tutti gli angoli interni uguali a $120^\circ$.

Errori comuni con gli angoli interni dei poligoni

Dividere per $n$ in un poligono non regolare

La formula

$$\frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}$$

fornisce un angolo interno solo quando il poligono è regolare. Un pentagono irregolare ha comunque somma totale degli angoli pari a $540^\circ$, ma i suoi singoli angoli non devono essere uguali.

Usare la formula senza controllare se il poligono è semplice

La formula standard della somma vale per i poligoni semplici. Se i lati si incrociano, le relazioni tra gli angoli sono diverse, quindi non dovresti applicare la formula automaticamente.

Confondere angoli interni ed esterni

Gli angoli interni sono all’interno del poligono. Gli angoli esterni si formano all’esterno. Sono concetti collegati, ma non rappresentano la stessa quantità.

Quando si usa la formula degli angoli interni

Le formule degli angoli interni compaiono nelle lezioni di geometria, nei problemi di disegno e progettazione e in qualsiasi situazione in cui devi ragionare sulla forma di un poligono a partire dal numero dei lati.

Sono importanti anche quando passi da un poligono generico a un poligono regolare, perché è in quel momento che una somma totale degli angoli diventa un unico angolo ripetuto.

Prova un problema simile sugli angoli di un poligono

Prova con un ottagono con $n=8$.

Per prima cosa trova la somma degli angoli interni usando $(n-2) \times 180^\circ$. Poi, solo se assumi che l’ottagono sia regolare, dividi per $8$ per trovare un angolo interno. Se vuoi fare il passo successivo, considera un altro caso di poligono e verifica se hai usato la condizione di poligono regolare nel momento giusto.