มุมภายในของรูปหลายเหลี่ยม — สูตรและผลบวก

มุมภายในของรูปหลายเหลี่ยมอย่างง่ายที่มี $n$ ด้าน มีผลบวกเท่ากับ

$$(n-2) \times 180^\circ.$$

ถ้ารูปหลายเหลี่ยมนั้นเป็นรูปด้านเท่า มุมภายในแต่ละมุมจะมีขนาดเท่ากับ

$$\frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}.$$

นี่ตอบคำถามหลักสองข้อที่ผู้อ่านมักค้นหา คือผลบวกของมุมภายในทั้งหมดสำหรับรูปหลายเหลี่ยมอย่างง่ายใด ๆ และค่ามุมภายในหนึ่งมุมในกรณีที่รูปนั้นเป็นรูปด้านเท่าเท่านั้น

มุมภายในคือมุมที่อยู่ด้านในของรูปหลายเหลี่ยม

มุมภายในคือมุมที่เกิดขึ้นภายในรูปหลายเหลี่ยม ณ จุดที่ด้านสองด้านมาบรรจบกัน

สำหรับรูปสามเหลี่ยม มุมภายในทั้งสามมุมรวมกันได้ $180^\circ$ สำหรับรูปสี่เหลี่ยมรวมกันได้ $360^\circ$ สูตรของรูปหลายเหลี่ยมเป็นการขยายรูปแบบเดียวกันนี้ออกไป

ทำไมผลบวกมุมภายในของรูปหลายเหลี่ยมจึงเป็น $(n-2) \times 180^\circ$

วิธีง่าย ๆ ที่จะมองเห็นสูตรนี้คือแบ่งรูปหลายเหลี่ยมออกเป็นรูปสามเหลี่ยม โดยลากเส้นทแยงมุมจากจุดยอดจุดหนึ่ง

รูปหลายเหลี่ยมที่มี $n$ ด้าน สามารถแบ่งได้เป็น $n-2$ รูปสามเหลี่ยมด้วยวิธีนี้ และแต่ละรูปสามเหลี่ยมมีผลบวกของมุมเท่ากับ $180^\circ$ ดังนั้นผลบวกของมุมภายในทั้งหมดจึงเป็น

$$(n-2) \times 180^\circ.$$

เหตุผลนี้ใช้ได้กับรูปหลายเหลี่ยมอย่างง่าย ซึ่งรวมทั้งรูปหลายเหลี่ยมนูนและรูปหลายเหลี่ยมเว้า ตราบใดที่ด้านของรูปไม่ตัดกัน

ตัวอย่างทำโจทย์: มุมภายในของรูปหกเหลี่ยม

จงหาผลบวกของมุมภายในของรูปหกเหลี่ยม

รูปหกเหลี่ยมมี $n=6$ ด้าน ดังนั้น

$$(6-2) \times 180^\circ = 4 \times 180^\circ = 720^\circ.$$

ดังนั้นมุมภายในของรูปหกเหลี่ยมอย่างง่ายใด ๆ รวมกันได้ $720^\circ$

ถ้ารูปหกเหลี่ยมนั้นเป็นรูปด้านเท่า มุมทั้งหกจะเท่ากันทุกมุม ดังนั้นแต่ละมุมมีขนาด

$$\frac{720^\circ}{6} = 120^\circ.$$

นี่คือความแตกต่างสำคัญ:

• รูปหกเหลี่ยมอย่างง่ายทุกแบบมีผลบวกมุมภายในเท่ากับ $720^\circ$
• มีเพียงรูปหกเหลี่ยมด้านเท่าเท่านั้นที่มุมภายในทุกมุมเท่ากับ $120^\circ$

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเกี่ยวกับมุมภายในของรูปหลายเหลี่ยม

หารด้วย $n$ ทั้งที่ไม่ใช่รูปหลายเหลี่ยมด้านเท่า

สูตร

$$\frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}$$

ใช้หามุมภายในหนึ่งมุมได้เฉพาะเมื่อรูปหลายเหลี่ยมเป็นรูปด้านเท่าเท่านั้น รูปห้าเหลี่ยมที่ไม่ด้านเท่ายังคงมีผลบวกของมุมทั้งหมดเป็น $540^\circ$ แต่มุมแต่ละมุมไม่จำเป็นต้องเท่ากัน

ใช้สูตรโดยไม่ตรวจสอบก่อนว่ารูปหลายเหลี่ยมเป็นแบบอย่างง่ายหรือไม่

สูตรมาตรฐานของผลบวกมุมใช้สำหรับรูปหลายเหลี่ยมอย่างง่าย ถ้าด้านของรูปตัดกัน ความสัมพันธ์ของมุมจะเปลี่ยนไป ดังนั้นไม่ควรใช้สูตรนี้โดยอัตโนมัติ

สับสนระหว่างมุมภายในกับมุมภายนอก

มุมภายในอยู่ด้านในของรูปหลายเหลี่ยม ส่วนมุมภายนอกเกิดขึ้นด้านนอก ทั้งสองแนวคิดเกี่ยวข้องกัน แต่ไม่ใช่ปริมาณเดียวกัน

สูตรมุมภายในถูกนำไปใช้เมื่อไร

สูตรมุมภายในพบได้ในวิชาเรขาคณิต โจทย์เกี่ยวกับการวาดและการออกแบบ และสถานการณ์ใด ๆ ที่ต้องวิเคราะห์รูปร่างของรูปหลายเหลี่ยมจากจำนวนด้าน

สูตรนี้ยังสำคัญเมื่อคุณเปลี่ยนจากรูปหลายเหลี่ยมทั่วไปไปเป็นรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่า เพราะนั่นคือช่วงที่ผลบวกของมุมทั้งหมดเปลี่ยนเป็นค่ามุมเดียวที่ซ้ำกัน

ลองทำโจทย์มุมของรูปหลายเหลี่ยมที่คล้ายกัน

ลองพิจารณารูปแปดเหลี่ยมที่มี $n=8$

ขั้นแรก หาผลบวกของมุมภายในด้วย $(n-2) \times 180^\circ$ จากนั้น ถ้าคุณสมมติว่ารูปแปดเหลี่ยมนั้นเป็นรูปด้านเท่า จึงค่อยหารด้วย $8$ เพื่อหามุมภายในหนึ่งมุม ถ้าต้องการลองต่อ ให้สำรวจกรณีของรูปหลายเหลี่ยมแบบอื่น และตรวจสอบว่าคุณใช้เงื่อนไขของรูปด้านเท่าในจังหวะที่ถูกต้องหรือไม่