다각형의 내각 — 공식과 내각의 합

변이 $n$개인 단순다각형의 내각의 합은

$$(n-2) \times 180^\circ.$$

정다각형이라면 각 내각의 크기는

$$\frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}.$$

이 두 식은 많은 독자가 찾는 두 가지를 바로 알려 줍니다. 하나는 모든 단순다각형의 전체 내각의 합이고, 다른 하나는 정다각형일 때만 구할 수 있는 한 내각의 크기입니다.

내각은 다각형 안쪽에 있는 각입니다

내각은 다각형에서 두 변이 만나는 점의 안쪽에 생기는 각입니다.

삼각형의 세 내각의 합은 $180^\circ$입니다. 사각형의 내각의 합은 $360^\circ$입니다. 다각형의 공식은 이 같은 규칙을 더 일반적으로 확장한 것입니다.

다각형의 내각의 합이 $(n-2) \times 180^\circ$인 이유

이 공식을 이해하는 쉬운 방법은 한 꼭짓점에서 대각선을 그어 다각형을 여러 개의 삼각형으로 나누는 것입니다.

변이 $n$개인 다각형은 이렇게 하면 $n-2$개의 삼각형으로 나눌 수 있고, 각 삼각형의 내각의 합은 $180^\circ$입니다. 따라서 전체 내각의 합은

$$(n-2) \times 180^\circ.$$

이 설명은 단순다각형에 대해 성립합니다. 즉, 볼록다각형과 오목다각형 모두 포함되며, 변들이 서로 교차하지 않기만 하면 됩니다.

예제: 육각형의 내각의 합

육각형의 내각의 합을 구해 봅시다.

육각형은 변이 $n=6$개이므로

$$(6-2) \times 180^\circ = 4 \times 180^\circ = 720^\circ.$$

따라서 모든 단순육각형의 내각의 합은 $720^\circ$입니다.

육각형이 정육각형이라면 여섯 내각의 크기가 모두 같으므로, 한 내각의 크기는

$$\frac{720^\circ}{6} = 120^\circ.$$

여기서 중요한 차이는 다음과 같습니다.

• 모든 단순육각형의 내각의 합은 $720^\circ$입니다.
• 모든 내각이 $120^\circ$인 것은 정육각형일 때만 가능합니다.

다각형의 내각에서 자주 하는 실수

정다각형이 아닌데 $n$으로 나누는 경우

공식

$$\frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}$$

은 다각형이 정다각형일 때만 한 내각의 크기를 구해 줍니다. 예를 들어 불규칙한 오각형도 전체 내각의 합은 여전히 $540^\circ$이지만, 각각의 내각이 서로 같을 필요는 없습니다.

다각형이 단순한지 확인하지 않고 공식을 쓰는 경우

표준 내각의 합 공식은 단순다각형에 대한 것입니다. 변들이 서로 교차하면 각의 관계가 달라지므로, 공식을 자동으로 적용하면 안 됩니다.

내각과 외각을 혼동하는 경우

내각은 다각형의 안쪽에 있는 각입니다. 외각은 바깥쪽에 생기는 각입니다. 서로 관련은 있지만 같은 양은 아닙니다.

내각 공식은 언제 쓰이나요?

내각 공식은 기하 수업, 도형 그리기와 디자인 문제, 그리고 변의 수를 바탕으로 다각형의 모양을 판단해야 하는 여러 상황에서 쓰입니다.

또한 일반적인 다각형에서 정다각형으로 넘어갈 때도 중요합니다. 전체 내각의 합이 하나의 반복되는 각의 크기로 바뀌는 순간이기 때문입니다.

비슷한 다각형 각 문제를 풀어 보세요

이번에는 팔각형에서 $n=8$인 경우를 생각해 보세요.

먼저 $(n-2) \times 180^\circ$를 사용해 내각의 합을 구합니다. 그다음 팔각형이 정다각형이라고 가정할 때만 $8$로 나누어 한 내각의 크기를 구합니다. 다음 단계로 더 나아가고 싶다면, 다른 다각형 사례도 살펴보면서 정다각형 조건을 올바른 순간에 적용했는지 확인해 보세요.