Ángulos interiores de un polígono — fórmula y suma

Los ángulos interiores de un polígono simple de $n$ lados suman

$$(n-2) \times 180^\circ.$$

Si el polígono es regular, cada ángulo interior es

$$\frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}.$$

Esto responde a las dos búsquedas más comunes: la suma total de los ángulos interiores de cualquier polígono simple y el valor de un ángulo interior solo cuando el polígono es regular.

Los ángulos interiores son los ángulos dentro del polígono

Un ángulo interior es el ángulo que se forma dentro de un polígono donde se unen dos lados.

En un triángulo, los tres ángulos interiores suman $180^\circ$. En un cuadrilátero, suman $360^\circ$. La fórmula de los polígonos extiende ese mismo patrón.

Por qué la suma de los ángulos interiores de un polígono es $(n-2) \times 180^\circ$

Una forma sencilla de ver la fórmula es dividir el polígono en triángulos trazando diagonales desde un vértice.

Un polígono de $n$ lados puede dividirse así en $n-2$ triángulos, y cada triángulo tiene una suma de ángulos de $180^\circ$. Por tanto, la suma total de los ángulos interiores es

$$(n-2) \times 180^\circ.$$

Este razonamiento funciona para polígonos simples. Eso incluye tanto polígonos convexos como cóncavos, siempre que los lados no se crucen.

Ejemplo resuelto: ángulos interiores de un hexágono

Calcula la suma de los ángulos interiores de un hexágono.

Un hexágono tiene $n=6$ lados, así que

$$(6-2) \times 180^\circ = 4 \times 180^\circ = 720^\circ.$$

Por lo tanto, los ángulos interiores de cualquier hexágono simple suman $720^\circ$.

Si el hexágono es regular, entonces sus seis ángulos son iguales, así que cada uno mide

$$\frac{720^\circ}{6} = 120^\circ.$$

Esta es la diferencia clave:

• Cualquier hexágono simple tiene una suma de ángulos interiores de $720^\circ$.
• Solo un hexágono regular tiene todos sus ángulos interiores iguales a $120^\circ$.

Errores comunes con los ángulos interiores de los polígonos

Dividir entre $n$ en un polígono no regular

La fórmula

$$\frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}$$

da un ángulo interior solo cuando el polígono es regular. Un pentágono irregular sigue teniendo una suma total de ángulos de $540^\circ$, pero sus ángulos individuales no tienen por qué ser iguales.

Usar la fórmula sin comprobar si el polígono es simple

La fórmula estándar de la suma es para polígonos simples. Si los lados se cruzan, las relaciones entre los ángulos son diferentes, así que no debes aplicar la fórmula automáticamente.

Confundir ángulos interiores con ángulos exteriores

Los ángulos interiores están dentro del polígono. Los ángulos exteriores se forman fuera de él. Son ideas relacionadas, pero no representan la misma magnitud.

Cuándo se usa la fórmula de los ángulos interiores

Las fórmulas de ángulos interiores aparecen en clases de geometría, en problemas de dibujo y diseño, y en cualquier situación en la que necesites razonar sobre la forma de un polígono a partir de su número de lados.

También son importantes cuando pasas de un polígono general a un polígono regular, porque ahí es cuando una suma total de ángulos se convierte en un único ángulo repetido.

Prueba un problema parecido sobre ángulos de polígonos

Prueba con un octágono de $n=8$.

Primero calcula la suma de los ángulos interiores usando $(n-2) \times 180^\circ$. Después, solo si supones que el octágono es regular, divide entre $8$ para hallar un ángulo interior. Si quieres dar el siguiente paso, explora otro caso de polígono y comprueba si usaste la condición de polígono regular en el momento adecuado.