Innenwinkel eines Polygons — Formel & Winkelsumme

Die Innenwinkel eines einfachen $n$-Ecks ergeben zusammen

$$(n-2) \times 180^\circ.$$

Wenn das Polygon regelmäßig ist, beträgt jeder Innenwinkel

$$\frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}.$$

Damit sind die zwei häufigsten Fragen beantwortet: die gesamte Innenwinkelsumme für jedes einfache Polygon und ein einzelner Innenwinkel nur dann, wenn das Polygon regelmäßig ist.

Innenwinkel sind die Winkel im Inneren des Polygons

Ein Innenwinkel ist der Winkel, der im Inneren eines Polygons entsteht, wenn zwei Seiten aufeinandertreffen.

Bei einem Dreieck ergeben die drei Innenwinkel zusammen $180^\circ$. Bei einem Viereck ergeben sie zusammen $360^\circ$. Die Polygonformel setzt dieses Muster fort.

Warum die Innenwinkelsumme eines Polygons $(n-2) \times 180^\circ$ ist

Eine einfache Möglichkeit, die Formel zu verstehen, ist, das Polygon in Dreiecke zu zerlegen, indem man von einem Eckpunkt Diagonalen einzeichnet.

Ein $n$-Eck kann auf diese Weise in $n-2$ Dreiecke zerlegt werden, und jedes Dreieck hat eine Winkelsumme von $180^\circ$. Daher ist die gesamte Innenwinkelsumme

$$(n-2) \times 180^\circ.$$

Dieses Argument gilt für einfache Polygone. Dazu gehören sowohl konvexe als auch konkave Polygone, solange sich die Seiten nicht schneiden.

Beispiel: Innenwinkel eines Hexagons

Bestimme die Summe der Innenwinkel eines Hexagons.

Ein Hexagon hat $n=6$ Seiten, also

$$(6-2) \times 180^\circ = 4 \times 180^\circ = 720^\circ.$$

Also ergeben die Innenwinkel jedes einfachen Hexagons zusammen $720^\circ$.

Wenn das Hexagon regelmäßig ist, dann sind alle sechs Winkel gleich groß, also ist jeder einzelne

$$\frac{720^\circ}{6} = 120^\circ.$$

Das ist der entscheidende Unterschied:

• Jedes einfache Hexagon hat die Innenwinkelsumme $720^\circ$.
• Nur ein regelmäßiges Hexagon hat jeden Innenwinkel gleich $120^\circ$.

Häufige Fehler bei Innenwinkeln von Polygonen

Durch $n$ teilen bei einem nicht regelmäßigen Polygon

Die Formel

$$\frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}$$

liefert einen einzelnen Innenwinkel nur dann, wenn das Polygon regelmäßig ist. Ein unregelmäßiges Fünfeck hat zwar trotzdem die gesamte Winkelsumme $540^\circ$, aber seine einzelnen Winkel müssen nicht gleich groß sein.

Die Formel verwenden, ohne zu prüfen, ob das Polygon einfach ist

Die Standardformel für die Winkelsumme gilt für einfache Polygone. Wenn sich Seiten schneiden, sind die Winkelbeziehungen anders, daher solltest du die Formel nicht automatisch anwenden.

Innenwinkel und Außenwinkel verwechseln

Innenwinkel liegen im Inneren des Polygons. Außenwinkel entstehen außerhalb. Diese Begriffe hängen zusammen, beschreiben aber nicht dieselbe Größe.

Wann die Innenwinkelformel verwendet wird

Innenwinkelformeln kommen im Geometrieunterricht, bei Zeichen- und Gestaltungsaufgaben und in jeder Situation vor, in der du aus der Seitenzahl auf die Form eines Polygons schließen musst.

Sie sind auch wichtig, wenn du von einem allgemeinen Polygon zu einem regelmäßigen Polygon übergehst, denn dann wird aus einer gesamten Winkelsumme ein einzelner sich wiederholender Winkel.

Probiere eine ähnliche Aufgabe zu Polygonwinkeln

Versuche es mit einem Oktagon mit $n=8$.

Bestimme zuerst die Innenwinkelsumme mit $(n-2) \times 180^\circ$. Teile dann nur dann durch $8$, wenn du annimmst, dass das Oktagon regelmäßig ist, um einen einzelnen Innenwinkel zu finden. Wenn du den nächsten Schritt machen willst, untersuche einen weiteren Polygonfall und prüfe, ob du die Bedingung „regelmäßiges Polygon“ im richtigen Moment verwendet hast.