Dış Açılar — Teorem ve Dış Açıların Toplamı

Dış açılar, bir kenarı uzattığınızda şeklin dışında oluşan açılardır. Temel bilgiler basittir: bir üçgende dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir; herhangi bir çokgende ise her köşeden bir dış açının toplamı, aynı yönde ölçülürse $360^\circ$ olur.

Sadece tek bir kısa yol hatırlayacaksanız şunu hatırlayın: bir iç açı ile ona komşu dış açı her zaman toplamda $180^\circ$ eder.

Dış Açı Ne Anlama Gelir?

Bir çokgen alın ve bir kenarı köşeyi geçecek şekilde uzatın. Bu uzantı ile sonraki kenar arasında kalan açı bir dış açıdır.

Bu dış açı, aynı köşedeki iç açının yanındadır; dolayısıyla ikisi birlikte bir doğru açı oluşturur:

$$\text{iç açı} + \text{komşu dış açı} = 180^\circ$$

Bu ilişki, iç açı ile dış açı arasında geçiş yapmanın çoğu zaman en hızlı yoludur.

Üçgende Dış Açı Teoremi Nasıl Çalışır?

Bir üçgende dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir. Bunlara uzak iç açılar denir.

Uzak iç açılar $a$ ve $b$, dış açı da $e$ ise,

$$e = a + b$$

Bu yalnızca iki uzak iç açı için geçerlidir. Dış açının yanındaki iç açı, bu teoremin parçası değildir.

Bir Çokgende Dış Açıların Toplamı Neden $360^\circ$'dir?

Bir çokgenin her köşesinden bir dış açı alıp hepsini aynı dönme yönünde ölçerseniz, toplam her zaman

$$360^\circ$$

olur.

Bu, üçgenler, dörtgenler, beşgenler ve daha büyük çokgenler için doğrudur. Bunu düşünmenin yararlı bir yolu, şeklin etrafında yürüdüğünüzü hayal etmektir: dış açılar toplam dönüşünüzü gösterir ve bir tam tur sonunda başlangıç yönünüze dönersiniz; bu da $360^\circ$'lik tam bir dönüş demektir.

Düzgün bir çokgende tüm dış açılar eşittir, bu yüzden her biri

$$\frac{360^\circ}{n}$$

olur; burada $n$ kenar sayısıdır.

Çözümlü Örnek: Üçgende Dış Açı Teoremini Kullanma

Bir üçgende kendisine komşu olmayan iki iç açı $48^\circ$ ve $67^\circ$'dir. Üçüncü köşedeki dış açıyı bulun.

Teoremi doğrudan uygulayın:

$$e = 48^\circ + 67^\circ = 115^\circ$$

Buna göre dış açı $115^\circ$'dir.

Yanındaki iç açıyı da istiyorsanız, doğru açı ilişkisini kullanın:

$$\text{komşu iç açı} = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$$

Bu örnek en yaygın iki adımı gösterir:

1. Dış açıyı bulmak için kendisine komşu olmayan iki iç açıyı toplayın.
2. Soru komşu iç açıyı da istiyorsa $180^\circ$'den çıkarın.

Düzgün bir çokgende işlem sırası farklıdır: önce bir dış açıyı bulmak için $360^\circ / n$ kullanın, sonra iç açı gerekiyorsa $180^\circ$'den çıkarın.

Dış Açılarla İlgili Yaygın Hatalar

Üçgen Teoreminde Yanlış Açıları Kullanmak

Bir üçgende dış açı, yanındaki iç açıya değil, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.

Bir Köşede Birden Fazla Dış Açıyı Toplamak

$360^\circ$ kuralı, her köşe için bir dış açı kullanır. Aynı köşede fazladan açı sayarsanız veya farklı dış açıları karıştırırsanız, toplam teoremle uyuşmaz.

Yön Koşulunu Göz Ardı Etmek

Çokgenlerde her köşeden bir dış açı alın ve şeklin etrafında ilerlerken hepsini tutarlı biçimde aynı yönde ölçün. Toplamın bir tam dönüşü göstermesini sağlayan şey budur.

Her Çokgende Dış Açıların Eşit Olduğunu Sanmak

Yalnızca düzgün çokgenlerde dış açılar eşittir. Düzgün olmayan çokgenlerde de dış açıların toplamı $360^\circ$'dir, ancak tek tek açılar farklı olabilir.

Dış Açıları Ne Zaman Kullanırsınız?

Dış açılar; üçgen ispatlarında, çokgen açı sorularında ve düzgün çokgen problemlerinde karşınıza çıkar. Özellikle şekildeki tüm açıları önce çözmeden bilinmeyen bir açıyı hızlıca bulmanız gerektiğinde çok kullanışlıdır.

Ayrıca geometri ile dönme kavramı arasında bağlantı kurarlar. Bu yüzden çokgenlerde dış açı toplamı hem sabittir hem de akılda kalması kolaydır.

Benzer Bir Soru Deneyin

Sıradaki denemeniz düzgün bir ongen olsun. Önce $360^\circ / 10$ ile bir dış açıyı bulun, sonra komşu iç açıyı hesaplayın.

Çözümünüzü adım adım kontrol etmek isterseniz, bitirdikten sonra çalışmanızı bir çözücüyle karşılaştırın ve doğru anda dış açı toplamını mı yoksa doğru açı ilişkisini mi kullandığınıza bakın.