Kąty wewnętrzne wielokąta — wzór i suma

Suma kątów wewnętrznych prostego wielokąta o $n$ bokach wynosi

$$(n-2) \times 180^\circ.$$

Jeśli wielokąt jest foremny, to każdy kąt wewnętrzny ma miarę

$$\frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}.$$

To odpowiada na dwa najczęstsze pytania czytelników: jaka jest łączna suma kątów wewnętrznych dowolnego wielokąta prostego oraz jak obliczyć jeden kąt wewnętrzny wtedy i tylko wtedy, gdy wielokąt jest foremny.

Kąty wewnętrzne to kąty znajdujące się wewnątrz wielokąta

Kąt wewnętrzny to kąt utworzony wewnątrz wielokąta w miejscu, gdzie spotykają się dwa boki.

W trójkącie trzy kąty wewnętrzne sumują się do $180^\circ$. W czworokącie ich suma wynosi $360^\circ$. Wzór dla wielokąta rozszerza ten sam schemat.

Dlaczego suma kątów wewnętrznych wielokąta wynosi $(n-2) \times 180^\circ$

Prosty sposób, aby zobaczyć ten wzór, polega na podzieleniu wielokąta na trójkąty przez narysowanie przekątnych wychodzących z jednego wierzchołka.

Wielokąt o $n$ bokach można w ten sposób podzielić na $n-2$ trójkąty, a suma kątów w każdym trójkącie wynosi $180^\circ$. Zatem całkowita suma kątów wewnętrznych wynosi

$$(n-2) \times 180^\circ.$$

To rozumowanie działa dla wielokątów prostych. Obejmuje to zarówno wielokąty wypukłe, jak i wklęsłe, o ile ich boki się nie przecinają.

Przykład: kąty wewnętrzne sześciokąta

Oblicz sumę kątów wewnętrznych sześciokąta.

Sześciokąt ma $n=6$ boków, więc

$$(6-2) \times 180^\circ = 4 \times 180^\circ = 720^\circ.$$

Zatem suma kątów wewnętrznych dowolnego prostego sześciokąta wynosi $720^\circ$.

Jeśli sześciokąt jest foremny, to wszystkie sześć kątów jest równych, więc każdy z nich ma miarę

$$\frac{720^\circ}{6} = 120^\circ.$$

To kluczowe rozróżnienie:

• Każdy prosty sześciokąt ma sumę kątów wewnętrznych równą $720^\circ$.
• Tylko sześciokąt foremny ma każdy kąt wewnętrzny równy $120^\circ$.

Typowe błędy przy kątach wewnętrznych wielokąta

Dzielenie przez $n$ w przypadku wielokąta nieforemnego

Wzór

$$\frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}$$

daje miarę jednego kąta wewnętrznego tylko wtedy, gdy wielokąt jest foremny. Nieregularny pięciokąt nadal ma łączną sumę kątów równą $540^\circ$, ale jego poszczególne kąty nie muszą być równe.

Używanie wzoru bez sprawdzenia, czy wielokąt jest prosty

Standardowy wzór na sumę dotyczy wielokątów prostych. Jeśli boki się przecinają, zależności między kątami są inne, więc nie należy stosować tego wzoru automatycznie.

Mylenie kątów wewnętrznych z zewnętrznymi

Kąty wewnętrzne znajdują się wewnątrz wielokąta. Kąty zewnętrzne są tworzone na zewnątrz. To pojęcia powiązane, ale nie oznaczają tej samej wielkości.

Kiedy używa się wzoru na kąty wewnętrzne

Wzory na kąty wewnętrzne pojawiają się na lekcjach geometrii, w zadaniach z rysunku i projektowania oraz w każdej sytuacji, gdy trzeba wnioskować o kształcie wielokąta na podstawie liczby boków.

Są też ważne przy przejściu od ogólnego wielokąta do wielokąta foremnego, ponieważ właśnie wtedy całkowita suma kątów zamienia się w jedną powtarzającą się miarę kąta.

Spróbuj podobnego zadania o kątach w wielokącie

Spróbuj dla ośmiokąta, gdzie $n=8$.

Najpierw oblicz sumę kątów wewnętrznych, używając $(n-2) \times 180^\circ$. Następnie, tylko jeśli założysz, że ośmiokąt jest foremny, podziel przez $8$, aby znaleźć miarę jednego kąta wewnętrznego. Jeśli chcesz zrobić kolejny krok, przeanalizuj inny przypadek wielokąta i sprawdź, czy warunek foremności został użyty we właściwym momencie.